Schwingungsgleichung: Federpendel

Ein Federpendel ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer Schraubenfeder und einer daran befestigten Masse besteht, welche sich geradlinig längs der Richtung bewegen kann, in der die Feder sich verlängert oder verkürzt. In der nachfolgenden Skizze ist ein solches Federpendel aufgezeigt:

Federpendel

Zieht man einen Körper, in $y$-Richtung aus der Ruhelage, nach unten und lässt ihn los, so führt er eine periodische Bewegung um die Ruhelage aus.

Wird der obige harmonische Oszillator aus seiner Ruhelage ausgelenkt (z.B. Feder mit Massestück wird gespannt, siehe oben), dann ist die rücktreibende Kraft gleich der Spannkraft bzw. Federkraft $F$ der Schraubenfeder:

Das Minuszeichen gibt an, dass die Spannkraft der Feder der Auslenkung $s$ der Feder entgegengesetzt ist.

Nach dem Newtonschen Grundgesetz führt eine äußere Kraft zu einer Beschleunigung:

$F = ma$

Wir setzen nun also die Spannkraft $F = -ks$ in das Newtonsche Grundgesetz ein:

$-ks = ma$

Dabei ist $s$ der Weg (in unserem Beispiel in vertikale Richtung) und $a$ die Beschleunigung, die ebenfalls in vertikale Richtung zeigt. Die Beschleunigung kann auch als zweite Ableitung des Weges nach der Zeit $t$ angegeben werden:

$\frac{d^2 s}{dt^2} =  a$

Einsetzen ergibt dann:

$-ks = m \cdot \frac{d^2 s}{dt^2}$

Diese Gleichung kann so umsortiert werden, dass beide von der Auslenkung $s$ abhängigen Größen auf der linken Seite stehen:

$m  \cdot \frac{d^2 s}{dt^2} + ks= 0$          

Teilen durch $m$ zeigt uns die Differentialgleichung 2. Ordnung:

Was besagt diese Gleichung?

Wir stellen die Gleichung um:

$\frac{d^2 s}{dt^2} = -\frac{k}{m} s $

Das bedeutet also, dass die zweimalige Ableitung einer Funktion $s$ nach der Zeit $t$ auf die ursprüngliche Funktion $s$ und einen konstanten Faktor $-\frac{k}{m}$ zurückführt.

Wir müssen also eine Funktion in Abhängigkeit von $t$ finden, die genau das erfüllt, deren zweite Ableitung also die Funktion selber ist und die zusätzlich dazu noch einen konstanten Faktor enthält.

Eine bekannte Funktion, die diese Bedingung erfüllt, ist die Cosinus-Funktion. Ein Ansatz für den zeitlichen Verlauf der Auslenkung $s$ kann somit folgendermaßen lauten:

$s = \cos(\varphi)$

Wir benötigen nun aber $s$ in Abhängigkeit von $t$ und nicht vom Winkel, es gilt:

$\varphi = \omega \cdot t$

Einsetzen:

$s = \cos(\omega \cdot t)$

Dabei ist $\omega$ die Eigenfrequenz:

Es wird nun die 1. und 2. Ableitung gebildet:

(1) $\frac{ds}{dt} = -\omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$

(2) $\frac{d^2s}{dt^2} = -\omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t) $

Wir betrachten nun die 2. Ableitung. Die zweite Ableitung der Funktion $s$ ergibt demnach einen konstanten Faktor $-\omega^2$ sowie die Ausgangsfunktion $s = \cos(\omega \cdot t)$:

(2) $\frac{d^2s}{dt^2}  = -\omega^2 \cdot s$

Dieses Ergebnis wird nun in die obige Differentialgleichung eingesetzt:

$-\omega^2 \cdot s + \frac{k}{m} s = 0$  

Wir können als nächstes $s$ ausklammern:

$s (-\omega^2 + \frac{k}{m} ) = 0$

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn $s$ den Wert Null annimmt ($s = 0$), der Körper sich also in der Ruhelage befindet. Außerdem ist dieser Ausdruck gleich Null, wenn der gesamte Klammerausdruck zu Null wird:

$-\omega^2 + \frac{k}{m} = 0$

Auflösen nach $\omega$:

$\omega^2 = \frac{k}{m} $

• Die Eigenfrequenz des Federpendels ist umso größer, je größer die Federkonstante $k$ der Schraubenfeder ist. 
• Die Eigenfrequenz des Federpendels ist umso größer, je kleiner seine Masse $m$ ist.

Schwingungsdauer

Setzen wir nun 

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

ein, dann erhalten wir:

$\frac{2\pi}{T}= \sqrt{\frac{k}{m}}$

Aufgelöst nach der Schwingungsdauer $T$ ergibt:

Frequenz

Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer:

$f = \frac{1}{T}$

Auflösen nach $T$ und in die Schwingungsdauer einsetzen ergibt dann die Gleichung für die Frequenz eines Federpendels:

Wir sind hier davon ausgegangen, dass der Körper maximal ausgelenkt worden ist und dann losgelassen wird. Dann ist die Cosinus-Funktion zur Beschreibung der Bewegung besser geeignet (wie hier gezeigt). Die Sinus-Funktion hingegen eignet sich als Ansatz, wenn der Pendelkörper zu Beginn in der Ruhelage ist und in dieser Position von außen “angestoßen” wird. Für die obigen Gleichungen ändert sich aber nichts, weil beide auf dasselbe Ergebnis für Eigenfrequenz, Schwingungsdauer und Frequenz führen. Für die späteren Bewegungsgleichungen hingegen muss zwischen Sinus und Cosinus unterschieden werden.