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Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Produktionsfunktionstypen:

Gutenberg-Produktionsfunktion

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Die Gutenberg-Produktionsfunktion stellt eine Erweiterung der linear-limitationalen Funktion dar und beinhaltet eine Variation der Produktionskoeffizienten. Sie bezieht sich auf eine Produktart mit $ m$ Faktoren.

Formal: $ r_i = a_i(d)x $ mit $ i =1,...,m $. 

Wie bereits bekannt ist, werden durch Produktionskoeffizienten $ a_i(d) $ unterschiedliche Produktionsprozesse beschrieben. Ein wichtiges Unterscheidungskriterium ist beispielsweise die Produktionsgeschwindigkeit $d $. So wäre in diesem Fall der Unterschied zwischen der Gutenberg-Produktionsfunktion und der Leontief-Produktionsfunktion, dass der Produktionskoeffizient $ a_i $ nicht mehr konstant ist, sondern eine Funktion der Produktionsgeschwindigkeit $d$ darstellt. Dadurch ist eine Berücksichtigung der unterschiedlichen Arbeitszustände von Potentialfaktoren mit Hilfe der Variation der Produktionskoeffizienten möglich. 

Die Produktionsfunktion hat dann die Form $d := \frac{x}{t} [ = \frac{Ausbringungen}{Zeit}] $

und die dazugehörige Verbrauchsfunktion die Form $\ a_i = a_i(d) $.

Sie ermöglicht es, die Leistungsabgabe eines Potentialfaktors bei unterschiedlichem Arbeitszustand zu erfassen. Der Produktionskoeffizient erweist sich zudem als Wert der Verbrauchsfunktion. Auf Grund dessen nennt man den Koeffizienten $ a_i $ auch Verbrauchskoeffizienten. 

In der folgenden Grafik sieht man zwei typische Verläufe einer Verbrauchsfunktion. 

Produktionsgeschwindigkeit
Produktionsgeschwindigkeit

Die Verbrauchsfunktionen $ V_1 (d) $ besitzt einen linearen Verlauf, die andere Funktion $ V_2 (d)$ hat ein lokales Minimum bei $ d_{opt}$ . Im lokalen Minimum läuft die Produktion in Bezug auf den Faktorverbrauch pro Outputeinheit optimal ab. Jedoch wird dieser Bereich oft verlassen um durch eine höhere Produktionsgeschwindigkeit einen höheren Output zu erzielen, auch wenn dadurch der Faktorverbrauch pro Outputeinheit wieder ansteigt. 

Es gilt dann $ x(d) > x(d_{opt}) $. 

Merke

In der Produktion wird die Gutenberg-Funktion meistens dafür eingesetzt nicht nur einen Produktionsprozess , sondern ein gesamtes Produktionsverfahren zu beschreiben.

Anwendungsbeispiel: Gutenberg Verbrauchsfunktion

Beispiel

In einem Unternehmen wird ein Produkt auf einer Maschine hergestellt. Die Maschine läuft maximal 8 Stunden am Tag. Die Produktionsgeschwindigkeit $d$ [Stück/Minute] kann zwischen 0 und 12 variieren.

Der Verbrauch (V) der Maschine an Energie (E) und Schmiermittel (S) ändert sich mit der Produktionsgeschwindigkeit gemäß folgender Verbrauchsfunktionen:

$V_E(d) = 2d^2 - 16d + 40$

$V_S(d) = 5d^2 - 10d + 30$

Die Preise betragen: Energie = 0,5 €/Einheit, Schmiermittel = 0,2€/Einheit.

1) Verbrauchsminimale Produktionsgeschwindigkeit

Dazu müssen die Verbrauchsfunktionen nach $d$ abgleitet werden und dann nach $d$ aufgelöst:

$4d - 16 = 0 \; \rightarrow d_E* = 4$

$10d - 10 = 0 \; \rightarrow d_S* = 1$

Die verbrauchsminimale Produktionsgeschwindigkeit beträgt für Energie $q_E = 4$ [Stück/Minute] und für Schmiermittel $q_S = 1$ [Stück/Minute].

2) Stückkostenminimale Produktionsgeschwindigkeit

Die Kostenfunktion ergibt sich durch:

$k(d) = V_E \cdot q_E + V_S \cdot q_S$

$k(d) = 0,5(2d^2 - 16d + 40) + 0,2(5d^2 - 10d + 30) = 2d^2 - 10d + 26$

Ableiten nach $d$ und Nullsetzen:

$4d - 10 = 0 \; \rightarrow d^* = 2,5$

Die stückkostenminimale Produktionsgeschwindigkeit beträgt $d^* = 2,5$ [Stück/Minute]. Da keine halben Produkte hergestellt werden können wird aufgerundet und mit $d^* = 3$ weiter gerechnet.

3) Minimalen Stückkosten bei zulässiger kostenminimaler Produktionsgeschwindigkeit

Einsetzen von $d^*$ in die Kostenfunktion:

$k(d^*) = 2 \cdot 3^2 - 10 \cdot 3 + 26 = 14$

Die minimalen Stückkosten betragen 14 €/Stück.

4)  Ermittlung der Produktionsgeschwindigkeit bei maximaler Auslastung

Zusatz: Es sollen 1.920 Stück bei maximaler Auslastung hergestellt werden.

Als erstes prüft man, ob man Stückkostenminimal ($d^* = 3$) auf die 1.920 Stück kommt:

3 Stück/Minute * 8 Stunden = 180 Stück/Stunde * 8 Stunden = 1.440 Stück

Es ist also nicht möglich Stückkostenminimal zu produzieren. Denn würde stückkostenminimal produziert werden ($d^* = 3$), so könnte das Ziel von 1.920 Stück bei maximaler Auslastung (8 Stunden) nicht erreicht werden. Das bedeutet, dass $d$ variiert werden muss, da die Maschine bereits an ihrem Maximum arbeitet:

$1920 = d \cdot 8 $ Stunden

$1920 = d \cdot 480$ Minuten

$d = 1920 /480  = 4 $ [Stück/Minute]

Aus der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass die Produktionsgeschwindigkeit zwischen 0 und 12 [Stück/Minute] variieren kann. In diesem Fall liegt diese bei $d = 4$ und ist somit innerhalb des Intervalls. Das bedeutet also, dass die Maschine 4 [Stück/Minute] produzieren muss, um nach 8 Stunden auf die 1.920 Stück zu kommen.

Video: Gutenberg-Produktionsfunktion

Eigenschaften der Gutenberg-Produktionsfunktion.

Video: Gutenberg-Produktionsfunktion

Eigenschaften der Gutenberg-Produktionsfunktion.
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"In der Produktion wird die Gutenberg-Funktion dafür eingesetzt nur einen Produktionsprozess und kein gesamtes Produktionsverfahren zu beschreiben."

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Autor: Jessica Scholz

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