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Produktion

Wagner-Whitin-Verfahren

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Das Wagner-Whitin-Verfahren dient der Bestimmung der optimalen Losgröße. Hierbei wird neben dem Bedarf in den jeweiligen Perioden auch die Rüstkosten und die Lagerhaltungskosten berücksichtigt. Ziel des Wagner-Whitin-Verfahrens ist es diese Kosten zu minimieren und dadurch die optimale Losgröße zu ermitteln. Es folgt nun ein Beispiel für ein dynamisches Losgrößenmodell, dass mit Hilfe des Wagner-Whitin-Verfahrens gelöst werden soll.

Beispiel

Einem Metallverarbeitungsunternehmen liegt ein fünfperiodiger Bedarf [Periode = Woche] an Kupferrohlingen vor. In der ersten Periode ist das Lager leer, und somit der Bestand $ z_0 = 0 $. Der wöchentliche Lagerungskostensatz beträgt $ h= 0,4 \ [\text{EUR/Woche} \cdot \text{ME}] $ und die rüstfixen Kosten $ K = 60\  \text{EUR/Woche} $. Welche Produktionsweise empfiehlt sich nach dem Wagner-Whitin-Verfahren?

Zeit [t] 1 2 3 4 5
Bedarf [$ r_t $] 80 100 125 100 50

Die Vorgehensweise erfolgt Schritt für Schritt.

1. Schritt [Woche 1]:

Variante 1.1: Da das Lager in der Anfangsperiode leer ist, produziert man nur für die erste Woche. Es entstehen hierbei nur Produktionskosten und noch keine Lagerungskosten

$ C_1 = K = 60 \  \text{EUR} $

So ist die anfänglich zu produzierende Losgröße $ q_1 $ = dem Bedarf der ersten Periode $ r_1 $  

2. Schritt [Woche 1 & 2]:

Hierzu vergleicht man 2 Vorgehensweisen miteinander:

Variante 2.1: Man produziert zuerst für Periode 1 und anschließend erneut für Periode 2. Auch hierbei entstehen keine Lagerungskosten.

$ C_{21} = 2 \cdot K = 120\ \text{EUR} $

Variante 2.2: Man produziert in der ersten Periode für den Bedarf der 2. Periode bereits mit. Nun entstehen auch Lagerungskosten.

$ C_{22} = K + h \cdot r_2 = 60 + 0,4 \cdot 100 = 100\ \text{EUR} $

Für den Betrachtungszeitraum von 2 Perioden ist das Kostenminimum $ C_2 = \min\{C_{21}, C_{22}\} = 100\ \text{EUR} $ optimal und das Unternehmen würde sich derzeit für Variante 2 entscheiden. 

Das zugehörige Teilprogramm wäre

$\ q_1^2 = r_1 + r_2, \ \ q_2^2 = 0 $

3. Schritte [Woche 1, 2 & 3]

Nun gibt es sogar 3 Vorgehensweisen, die es zu vergleichen gilt:

Variante 3.1: Man produziert in Periode 1 für Periode 2 mit und produziert erneut in Periode 3. Es entstehen sowohl Produktions- als auch Lagerungskosten.

$\ C_{31} = C_2 + K = 100 + 60 = 160\ \text{EUR} $.

Variante 3.2: Man produziert in Periode 1 und erneut in Periode 2 um den Bedarf für Periode 2 und Periode 3 zu decken. Auch hierbei entstehen sowohl Produktions- als auch Lagerungskosten.

$\ C_{32} = K + (K + h\cdot r_3) = 60 + (60 + 0,4 \cdot 125) = 170\ \text{EUR} $.

Variante 3.3: Der gesamte Bedarf für Periode 1 bis 3, wird ausschließlich in Periode 1 produziert. Wieder entstehen sowohl Produktions- als auch Lagerungskosten.

$\ C_{33} = K + h\cdot r2 + 2 h \cdot r_3 = 60 + 0,4 \cdot 100 + 2\cdot 0,4 \cdot 125 = 200\ \text{EUR} $ 

Für den Betrachtungszeitraum von 3 Perioden ist das Kostenminimum $ C_3 = \min\{C_{31}, C_{32},C_{33}\} = 160\ \text{EUR} $ optimal und das Unternehmen würde sich derzeit für Variante 1 entscheiden.

Vergleicht man alle bisherigen Ergebnisse miteinander so wird klar, dass für die Bedarfe der Periode 1 und 2 eine Produktion in der Periode 1 am kostengünstigsten ist. Eine Erweiterung der Produktion für Periode 3, hat sich dabei als suboptimal herausgestellt. Dies liegt vornehmlich an der Lagerhaltungsdauer von 2 Wochen für Periode 3 und den damit verbundenen Kosten. 

Dennoch gilt es weiter zu klären, wie Bedarfe der Periode 3-5 optimal produziert werden können und wie eine mögliche Zusammenfassung auszusehen hätte.

Schritt 4 [Woche 3 & 4]

Wieder vergleicht man zwei mögliche Teilprogramme miteinander

Variante 4.1: $ C_{41} = K + K = 120\ \text{EUR} $ [getrennte Produktion]

Variante 4.2: $ C_{42} = K + h \cdot r_4 = 100\ \text{EUR}$ [gemeinsame Produktion in Periode 3]

$\rightarrow C_4 := \min\{C_{41}, C_{42}\} = C_42 = 100\ \text{EUR} $ [Vorteil von Variante 2]

Schritt 5 [Woche 3,4 & 5] 

Es gilt wieder zu klären ob, die in Schritt 4 gewählte Variante 2 noch zu halten ist oder ob sie revidiert werden muss:

Drei mögliche Teilprogramme werden verglichen:

Variante 5.1: $ C_{51} = C_4 + K = 100 + 60 = 160\ \text{EUR} $ [Bedarf 3 und 4 in Periode 3 und erneute Produktion in Periode 5]

Variante 5.2: $ C_{52}= K + ( K + h \cdot r_5) = 140\ \text{EUR} $ [Produktion der Bedarfe 4 und 5 in Periode 4]

Variante 5.3: $ C_{53} = K + h \cdot r_4 + 2\cdot h \cdot r_5 = 140\ \text{EUR} $ [Bedarfe 3-5 werden in Periode 3 produziert]

$\rightarrow C_5 = \min\{C_{51}, C_{52}, C_{53}\} = C_{52} = C_{53} = 140\ \text{EUR} $ [Indifferenz zwischen Variante 2 & 3]

Lösung

Durch Anwendung des Wagner-Whitin-Verfahrens konnte das dynamische Losgrößenmodell gelöst werden. In der ersten Woche wird für die Periode 2 mitproduziert und in der dritten Woche wird der restliche Bedarf produziert. Wobei auch die Möglichkeit nach Variante 5.2 zu produzieren, besteht. 

Das optimale Auflageprogramm hat letztlich die Form:

$ q_1^5 = r_1 + r_2, q_2^5 = 0, q_3^5 = r_3 + r_4 + r_5, q_4^5= 0, q_5^5 = 0 $

Die  optimale Kostenfunktion ist somit

$ C_{opt} = 100 + 140 = 240\ \text{EUR} $ 

Merke

Das Verfahren von Wagner-Whitin kann für jedes dynamische Losgrößenmodell angewandt werden, unabhängig davon, wie viele Perioden untersucht werden sollen. 

Kritik am Wagner-Whitin-Verfahren

Das Wagner-Whitin-Verfahren berücksichtigt keine Kapazitäten. Dies kann dazu führen, dass die Lösung nicht realisiert werden kann, weil beispielsweise nicht ausreichend Lagerraum zur Verfügung steht oder die Kapazität einer Maschine erreicht ist und damit diese Losgröße nicht gefertigt werden kann. Auch Haltbarkeiten des Produktes werden nicht berücksichtigt. Bei leicht verderblichen Produkten ist eine Lagerhaltung über mehrere Perioden suboptimal, auch wenn dies nach dem Wagner-Whitin-Verfahren kostenoptimal wäre.

Video: Wagner-Whitin-Verfahren