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Regelungstechnik - Anwendungsbeispiel: Regelgröße

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Regelungstechnik

Anwendungsbeispiel: Regelgröße

Nachdem Sie im vorherigen Kurstext die Umformungsregeln kennengelernt haben möchten wir Ihnen nun anhand eines Anwendungsbeispiels aufzeigen wie ein Signalflussplan vereinfacht werden kann. Für den vorliegenden Signalflussplan benötigen wir die Umformungsregel 5.

Bei dem vorliegenden Signalflussplan handelt es sich um einen Drehzahlregelkreis. Wir treffen die Annahme, dass keine Verzögerung oder nichtlineare Kennlinien in der Regelstrecke, dem Regler, oder der Messeinrichtung auftreten.

Signalflussplan
Signalflussplan
Die zugehörigen Größen sind:
  • Führungsgröße (Drehzahl): $ n_w $
  • Regelgröße (Drehzahl): $ n_x $
  • Stellgröße (Ankerspannung): $ U_y $
  • Verstärkungsfaktor des Regler: $ K_R $
  • Verstärkungsfaktor der Regelstrecke: $ K_S$
  • Tachometerkonstante: $ K_T $
Zusätzliche Angaben:

Es gilt, dass die Drehzahl $ n_w $ mit dem Übertragungselement $ K_T $ durch die Führungsgrößenvorgabe in eine Spannung $ U_W $ umgeformt werden muss. Würde ein anderer Faktor an dieser Stelle vorliegen führte, dies zu einer fehlerhaften Regeldifferenz.

Zahlenwerte:
  • Die Führungsgröße ist $ n_w = 2000 min^{-1} $
  • Der Verstärkungsfaktor des Reglers ist: $ K_R = 20 $
  • Der Verstärkungsfaktor der Regelstrecke ist: $ K_S = 500 \frac{min^{-1}}{V} $
  • Die Tachometerkonstante hat den Wert $ K_T = 1 \frac{mV}{min^{-1}}$
Aufgabenstellung:

Beispiel

Berechne die Regelgröße $ n_x $ für den Sollwert $ n_w $.
Notwendige Gleichungen:
  • $ U_w = K_T \cdot n_w $,
  • $ U_x = K_T \cdot n_x $
  • $ U_{xd} = U_w -U_x = K_T \cdot (n_w - n_x) $
  • $ U_y = K_R \cdot ( U_w - U_x) = K_R \cdot K_T \cdot (n_w - n_x) $

Resultierende Gleichung zur Bestimmung der Regelgröße $ n_x $ ist somit:

$ n_x = K_s \cdot U_y $

Nun können wir unter Zuhilfenahme der Umformungsregel 5 im ersten Schritt der Übertragungsblock mit $ K_T $ verlagern.

1. Umformung
1. Umformung

Im nächsten Schritt fassen wir nun die Blöcke mit $ K_T $ und $ K_R $ zusammen:

2. Umformung
2. Umformung
Bestimmung der Regelgröße durch Umstellung der Regelkreisgleichung:

$ (n_w - n_x) \cdot K_T \cdot K_R \cdot K_s = n_x $,

$\rightarrow$ Schrittweises Isolieren von $ n_x $

$ n_x \cdot (1 K_T \cdot K_R \cdot K_S) = K_T \cdot K_R \cdot K_S \cdot n_w $

$\rightarrow $ Auflösen nach $ n_x $

$ n_x = \frac{K_T \cdot K_R \cdot K_S}{1 + K_T \cdot K_R \cdot K_S} \cdot n_w $

$\rightarrow $ Einsetzen der Zahlenwerte und Lösen der Gleichung

$ n_x = \frac{ (1 mV/min^{-1}) \cdot (20) \cdot (500\ min^{-1}/V)}{ 1 + (1 mV/min^{-1}) \cdot (20) \cdot (500\ min^{-1}/V)} \cdot 2000\ min^{-1} = 1.999,8 \ min^{-1} $

Im letzten Schritt werden wir nun noch die bleibende Regeldifferenz des Regelkreises bestimmen, indem wir die Differenz aus Führungsgröße und Regelgröße bilden:

$ n_xd = n_w - n_x = 2000,0\ min^{-1} - 1.999,8 \ min^{-1} = 0,2 \ min^{-1} $

Das Ergebnis zeigt, dass der Regelkreis mit der gegebenen bleibenden Regeldifferenz insgesamt 99,99 % des vorgegebenen Sollwerts erreicht.

Merke

Zur Erreichung einer hohen Genauigkeit kann die Reglerverstärkung $ K_R $ vergrößert werden, jedoch birgt dies die Gefahr, dass der Regelkreis instabil wird, sofern Verzögerungselemente im Regelkreis vorliegen.