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Kursangebot | Regelungstechnik | Formelsammlung

Regelungstechnik

Formelsammlung

Einführung in die Regelungstechnik

Methode

Hier klicken zum AusklappenBezeichnungen 

$ u(t) =$ Eingangsgröße oder steuernde Größe oder beeinflussende Größe
$ v(t) =$ Ausgangsgröße oder gesteuerte Größe oder beeinflusste Größe

Methode

Hier klicken zum AusklappenRegeldifferenz

$ e = h_1 - h_M $.

Methode

Hier klicken zum AusklappenGrundgrößen der Regelungstechnik

Regelgröße $ x $

Stellgröße $ y $

Störgröße $ z $

Bei mehreren Störgrößen  $ z_1, z_2, z_3, z_4,... $

Aufgabengröße $ x_A $

Führungsgröße $ w $

Regeldifferenz $ e = w - x $

Rückführungsgröße $ r $

Reglertypen

Methode

Hier klicken zum AusklappenP-Regler

Reglerausgangsgröße P-Regler: $ U_{PR} = - V_P \cdot D + U_0 $

Regelabweichung: $ D = \frac{ U - U_0}{-V_P} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenI-Regler

Reglerausgangsgröße I-Regler: $ U_{IR} = - V_i \cdot \int D \cdot dt $

Methode

Hier klicken zum AusklappenD-Regler

Reglerausgangsgröße D-Regler: $ U_{DR} = - V_D \cdot \frac{dD}{dt} $
wobei $ V_D $ der zuvor festgelegt Vorfaktor ist.

Methode

Hier klicken zum AusklappenPID-Regler

$ U_{PID} = U = U_{PR} + U_{IR} + U_{PR} $

eingesetzt:

$ U = (-V_p \cdot D) + (-V_i \cdot \int D \cdot dt) + (-V_D \cdot \frac{dD}{dt}) $

 Wirkungspläne

Methode

Hier klicken zum AusklappenEingangsgrößen

$ x_{ei} $ mit $ i = 1,...., m $.

Methode

Hier klicken zum AusklappenAusgangsgrößen

$ x_{aj} $ mit $ j = 1,...., n $. 

Methode

Hier klicken zum AusklappenAllgemeine Summationsgleichung

$ x_a(t) = \sum x_{ei}(t), i = 1, 2,..., m $

Methode

Hier klicken zum AusklappenAllgemeine Inversionsgleichung

$ x_a(t) + x_e(t) = 0 \rightarrow x_a(t) = - x_e(t) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenAllgemeine Multiplikationsgleichung

$ x_a(t) = \prod x_{ei}(t) , i = 1, 2,..., m $

Methode

Hier klicken zum AusklappenAllgemeine Divisionsgleichung

$ x_a(t) = \frac{x_{ei}(t)}{x_{ei+1}(t)} , i = 1, 2,..., m $

Methode

Hier klicken zum AusklappenAllgemeine Verzweigungsgleichung

$ x_e(t) = x_a(t) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenKettenstruktur

Resultierender Übertragungsfaktor: $ K = \prod K_i = K_1 \cdot K_2 \cdot K_3 \cdot K_4 $

Resultierendes Ausgangssignal: $ x_a =( \prod K_i )\cdot x_e = ( K_1 \cdot K_2 \cdot K_3 \cdot K_4 ) \cdot x_e $

Methode

Hier klicken zum AusklappenParallelstruktur

Resultierender Übertragungsfaktor: $ K = \sum K_i = - K_1 - K_2 + K_3 $

Resultierendes Ausgangssignal: $ x_a = K \cdot x_e = (\sum K_i) \cdot x_e = (- K_1 - K_2 + K_3) \cdot x_e $

Methode

Hier klicken zum AusklappenKreisstruktur mit indirekter Gegenkopplung

Regelkreisgleichung: $ x = \frac{K_R \cdot K_S}{1 + K_M \cdot K_R \cdot K_S} \cdot w = K \cdot w $

Gesamtübertragungsfaktor: $ K = \frac{x}{w} = \frac{K_R \cdot K_S}{1 + K_M \cdot K_R \cdot K_S } $

Methode

Hier klicken zum AusklappenKreiststruktur mit direkter Gegenkopplung

Regelkreisgleichung $ x = \frac{K_R \cdot K_S}{1 + K_R \cdot K_S} \cdot w = K \cdot w $

Gesamtübertragungsfaktor $ K = \frac{x}{w} = \frac{ K_R \cdot K_S }{1 + K_R \cdot K_S} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenRegelkreis mit Proportionalelementen

Führungsübertragungsfunktion: $ K = \frac{x}{w} = \frac{K_R \cdot K_S}{1 + K_R \cdot K_S} $

Störübertragungsfunktion: $ K_{z1} = \frac{x}{z_1} = \frac{K_S}{1 + K_R\cdot K_S} $

Störübertragungsfunktion: $ K_{z2} = \frac{x}{z_2} = \frac{1}{1 + K_R\cdot K_S} $

Regelfaktor: $ r = \frac{1}{1+ K_R \cdot K_S } = \frac{K_{ZmR}}{K_{ZoR}} $ 

ZmR = Störübertragung mit Regelung.

ZoR = Störübertragung ohne Regelung.

Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung

Methode

Hier klicken zum AusklappenNormierung einer Gleichung

$ x = K_S \cdot f(y) $

$ \frac{x}{x_N} = K_S \cdot \frac{1}{x_N} \cdot f (y_N \cdot \frac{y}{y_N}) = x' $
$\longrightarrow $
$ x' = K_S \cdot \frac{y_N}{x_N} \cdot f (y') = K_S' \cdot f(y') $

Methode

Hier klicken zum AusklappenLinearisierung - Verstärkungsprinzip

Gleichung des Verstärkungsprinzips: $ k \cdot x_a = f (k\cdot x_e ) = k \cdot f (x_e) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenLinearisierung - Überlagerungsprinzip

Gleichung des Überlagerungsprinzips: $ x_{a1} \pm x_{a2} = f (x_{e1} \pm x_{e2}) $ bzw. $ x_{a1} \pm x_{a2} = f (x_{e1}) \pm f(x_{e2}) $

Differenzialgleichungen

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtlösung der Differenzialgleichung

$ x_a(t) = x_{ah}(t) + x_{ap}(t) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenHomogene Differenzialgleichung

$ a_n \cdot \frac{d^n x_a}{dt^n} + a_{n-1} \cdot \frac{d^{n-1} x_a}{dt^{n-1}} + a_{n-2} \cdot \frac{d^{n-2} x_a}{dt^{2-1}}+....+ a_{1} \cdot \frac{d^{1} x_a}{dt^{1}}+a_{0} \cdot \frac{d^{0} x_a}{dt^{0}} = 0 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenCharakteristische Gleichung des Systems

$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+....+ a_{1} \cdot \alpha^{1} + a_0 = 0 $

Linearfaktoren:

$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+....+ a_{1} \cdot \alpha^{1} + a_0 = 0 \Longrightarrow a_n \cdot (\alpha - \alpha_1) \cdot (\alpha - \alpha_2) \cdot (\alpha - \alpha_3)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) = 0 $

Testfunktionen

Methode

Hier klicken zum AusklappenImpulsfunktion, Impulsantwort

Dirac-Impuls: $\begin{equation} \sigma (t) = \begin{cases} 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0 \ \ \text{und}\ \ t> 0 \\ \infty \ \ \text{für} \ \ t = 0 \end{cases} \end{equation}, \int \sigma(t)dt = 1$

Impulsfunktion: $ x_e(t) = x_{e0} \cdot T \cdot \sigma(t) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenSprungfunktion, Sprungantwort

Eingangsfunktion: $ x_e(t) = x_{e0} \cdot E(t) $

Einheitsprungfunktion: $\begin{equation} E (t) = \begin{cases} 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0 \\ \ 1 \ \ \text{für} \ \ t \ge 0 \end{cases} \end{equation} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenAnstiegsfunktion, Anstiegsantwort

Anstiegsfunktion: $ x_e(t) = x_{eo} \cdot \frac{t}{T} $

Vereinfacherung durch Einheitssprungfunktion $ E(t) $: $ x_e(t) = at E(t) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenHarmonische Funktion

Eingangsgröße Sinusfunktion: $ x_e(t) = \hat x_e \cdot sin (\omega t) $.

 Laplace-Transformation

Methode

Hier klicken zum AusklappenLAPLACE-Variable:

$ s:= \sigma + j \omega $

Methode

Hier klicken zum AusklappenLAPLACE-Integral:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j \; \omega \; t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ für $ t < 0 $

mit $s = \sigma + j \; \omega$:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt $

Methode

Hier klicken zum AusklappenLaplace-Transformation - Sprungkfunktion

Sprungfunktion: $ f(t) = E(t), \begin{equation} E (t) = \begin{cases} 0 \ \ \text{für} \ \ t \le 0 \\ \ 1 \ \ \text{für} \ \ t > 0 \end{cases} \end{equation} $

Laplace-Transformation der Sprungfunktion: $ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt= \int_0^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = - \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty = \frac{1}{s} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenLaplace-Transformation - Antwortfunktion

Anstiegsfunktion: $ f(t) = t $

Laplace-Transformation der Antwortfunktion:

$\int g(t) \cdot f(t) = g(t) \cdot F(t) - \int g'(t) \cdot F(t)$

mit

$g(t)$ = Funktion von $t$

$f(t)$ = Funktion von $t$

$F(t)$ = Stammfunktion von Funktion $f(t)$

$g'(t)$ = Ableitung von Funktion $g(t)$

Produktintegration

$f(s) = - t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty - \int_0^\infty -\frac{1}{s} \cdot e^{-st} dt $

$f(s) = [ -t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st} - \frac{1}{s^2} \cdot e^{-st}]|_0^\infty = \frac{1}{s^2} $

 Laplace-Rücktransformation

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

LAPLACE-Rücktransformation:

$ f(t) = \frac{1}{2 \; \pi \; j} \oint f(s) \cdot e^{st} \; ds = L^{-1} \{f(s) \}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenLAPLACE-Rücktransformation mit Residuensatz:

$ f(t) = \frac{1}{2 \; \pi \; j} \oint f(s) \cdot e^{st} \; ds = \sum_{i=1}^{n} Res[f(s) \cdot e^{st} ] $

Methode

Hier klicken zum AusklappenResiduum:

$ Res|_{s = s_{p1}} = \frac{1}{(k-1)!} \cdot \frac{d^{k-1}}{ds^{k-1}} \cdot [f(s) \cdot e^{st} \cdot (s - s_{p1})^k|_{s = s_{p1}} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenEinfache Polstelle

LAPLACE-transformierte Funktion: $ f (s) = \frac{1}{s + a} $        mit $ k = 1 $ und $ s_{p1} = -a $

Die zugehörige Zeitfunktion hat dann die Form:

Zeitfunktion: $ f(t) = Res|_{s = -a} = \frac{1}{(1-1)!} \cdot \frac{d^0}{ds^0} [ \frac{1}{s + a} \cdot e^{st} \cdot (s + a)]|_{s = -a} = e^{-at}$. 

Methode

Hier klicken zum AusklappenDreifache Polstelle

LAPLACE-transformierte Funktion bei $ s_1 = 0: f(s) = \frac{1}{s^3} $     mit $ k = 3 $ und $ s_{p1} = 0 $

Die zugehörige Zeitfunktion ist dabei:

Zeitfunktion: $ f(t) = Res|_{s = 0 } = \frac{1}{(3-1)!} \cdot t^{3-1} \cdot e^{0 \cdot t} = \frac{1}{2} \cdot t^2 $

Methode

Hier klicken zum Ausklappenk-fache Polstelle

LAPLACE-transformierte Funktion: $ f(s) = \frac{1}{(s + a)^k} $      mit $ k > 1 $ und $ s_{p1} = -a $

Die zugehörige Zeitfunktion ist:

Zeitfunktion: $ Res|_{s = -a} = \frac{1}{(k -1)!} \cdot \frac{d^{k-1}}{ds^{k-1}} \cdot [ \frac{1}{(s + a)^k} \cdot e^{st} \cdot (s + a)^k]|_{s = -a} = \frac{1}{(k - 1)!} \cdot t^{k-1} \cdot e^{-at}$.

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerschiebesatz (rechts)

$ L \{ f( t- T) \} = e^{-T s} \cdot L \{ f(t)\} = e^{-T s} \cdot f(s) $, mit $T > 0 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerschiebesatz (links)

$ L \{ f (t + T) \} = e^{+ T s} \cdot [ f(s) - \int_0^T f(t) \cdot e^{-st} dt] $ für $ T \le 0 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenDämpfungsatz im Frequenzbereich

$ L\{e^{-at} \cdot f (t) \} = f (s + a) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenTrigonometrische Funktionen

1. transformierte Sinusfunktion:
$ L \{sin(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} - e^{- j a t}}{2j} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) - f (s + ja)}{2j} $

2. transformierte Cosinusfunktion:
$ L \{cos(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} + e^{- j a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) + f (s + ja)}{2} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenHyperbolische Funktionen

1. transformierter Sinus Hyperbolicus, Hyperbelsinus:
$ L \{sinh(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+ a t} - e^{- a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - a) - f (s + a)}{2} $

2. transformierter Cosinus Hyperbolicus, Hyperbelcosinus:
$ L \{cosh(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+ a t} + e^{- a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - a) + f (s + a)}{2} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenÄhnlichkeitssatz

$ L \{f(a\cdot t)\} = \frac{1}{a} \cdot f( \frac{s}{a}) $ sowie $ L\{f(\frac{t}{a})\} = a \cdot f(a\cdot s) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferenziationssatz

$ L\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\} = s^n f (s) - [s^{n-1} f(t = 0+) + s^{n-2} \cdot \frac{df(t)}{dt}|_{t = 0+} + .... + s \frac{d^{(n-2)} f(t)}{dt^{(n-2)}}|_{t = 0+} + \frac{d^{(n-1)}f (t)}{dt^{(n-1)}}|_{t = 0+} ] $

Allgemeiner Differenziationssatz: $ L\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\} = s^n \cdot f(s) - \sum_{i=1}^n s^{n-i} \cdot \frac{d^{(i-1)} f(t)}{dt^{(i - 1)}}|_{t = 0+} $

Differenziationssatz der 1. Ableitung: $ L\{\frac{df(t)}{dt}\} = s \cdot f(s) - f(t = 0+) $

Differenziationssatz der 2. Ableitung:$ L\{\frac{d^2f(t)}{dt^2}\} = s^2 \cdot f(s) - [s \cdot f(t = 0+) + \frac{df(t)}{dt}|_{t = 0 +} ] $

Methode

Hier klicken zum AusklappenIntegrationssatz

Integrationssatz: $ L\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \} = \frac{1}{s} \cdot L\{f (t)\} = \frac{1}{s} \cdot f(s) $

Integrationssatz (n-fach): $ L\{ \frac{1}{(n -1)!} \cdot \int_0^t (t -\tau)^{n-1} \cdot f (\tau) d\tau\} = \frac{1}{s^n} \cdot f(s) $ mit $ n \le 1 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenFaltungsintegral

$ L\{ f_1(t) \cdot f_2(t)\} = L\{ \int_0^t f_1(t - \tau) \cdot f_2(\tau)d \tau\} = f_1(s) \cdot f_2(s) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenGrenzwertsätze

Anfangswertsatz: $ f(t = 0) = \lim_{ s \rightarrow \infty} s \cdot f(s) $.

Endwertsatz: $f(t \to \infty) = \lim_{ s \rightarrow 0} s \cdot f(s) $.

Methode

Hier klicken zum AusklappenLaplace-Transformation - Periodische Zeitfunktion

Periodische Zeitfunktion: $ f(t) = f(t + i \cdot T_p) $, wobei $ i = 0, 1, 2, 3, 4,.... $

LAPLACE-Transformierte einer periodischen Zeitfunktion:
$ f(s) = L\{f(t)\} = \frac{1}{1 - e^{-T_p s}} \cdot \int_0^{T_P} f(t) \cdot e^{-st} dt $

Frequenzgang

Methode

Hier klicken zum AusklappenSinusförmiges Signal:

$ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin{\omega t} $

Sinusförmiges Eingangssignal:
$ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $.

Sinusförmiges Ausgangssignal:
$ x_a(t) = \hat{x}_a \cdot sin( \omega t + \rho(\omega)) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenFrequenzgang

$ F (j\omega) = \frac{\hat{x}_a (\omega)}{ \hat{x}_e} \cdot e^{j \rho(\omega)} $

Realteil und Imaginärteil: $ F (j \omega) = Re\{F (j\omega)\} + j Im\{F (j\omega)\} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenFrequenzgang einer Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselelements

Differenzialgleichung 1. Ordnung: $ T_1 \cdot \frac{d x_a}{dt} + x_a = x_e $

Eingangssignal: $ x_e(j\omega) = \hat{x}_e \cdot e^{j\omega t} $

Ausgangssignal: $ x_a(j\omega) = \hat{x}_a \cdot e^{j(\omega t + \rho(\omega))}$

1. Ableitung Ausgangssignal: $ \frac{d}{dt} (x_a(j \omega)) = j \omega \cdot \hat{x}_a (\omega) \cdot e^{j (\omega t + \rho(\omega))} $

Frequenzgang: $F (j \omega) = \frac{x_a ( j \omega)}{x_e (j \omega)} = \frac{ 1}{ 1 + j\omega \cdot T_1 } $

Betrag des Frequenzgangs: $ | F (j \omega) | = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \omega^2 \cdot T_1^2}} $

Phase des Frequenzgangs: $ tan \rho (\omega) = \frac{Im \{F (j \omega)\}}{ Re \{F ( j \omega)\}} = - \omega \cdot T_1 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenOrtskurve 

Sinusförmiges Eingangssignal: $ x_e (t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $

Sinusförmiges Ausgangssignal: $ x_a(t) = \hat{x}_a (\omega) \cdot sin(\omega t + \rho(\omega)) $

Frequenzgang: $ F (j \omega) = \frac{x_a (j \omega)}{x_e (j \omega)} = \frac{\hat{x}_a (\omega)}{\hat{x}_e} \cdot e^{j \rho(\omega)} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenBODE-Diagramm

Amplitudengang: $ lg |F_RS(j\omega)| $

Phasengang: $ \rho_{RS} (\omega) = \rho\{F_{RS} (j \omega)\} $

Logarithmische Abszissenaufteilung: $ lg = 0,1 ; 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; ... $

Methode

Hier klicken zum AusklappenSprungantwort

Anfangswert der Sprungantwort: $ x_a(t = 0) = \lim_{\omega \rightarrow \infty} F (j \omega) \cdot x_{e0} $

Endwert der Sprungantwort: $ x_a ( t \rightarrow \infty) = \lim_{\omega \rightarrow \infty} F( j \omega) \cdot x_{e0} $

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenHier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Regelungstechnik.

Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.

Jan