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Frequenzgang

WebinarTerminankündigung:
 Am 04.04.2017 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Laplace-Transformation
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar wird gezeigt wie man die Sprungantwort für eine Sprungfunktion mit einer Laplace-Transformation berechnet.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Wir stellen uns ein Übertragungselement mit Eingangssignalen und Ausgangssignalen vor. Das Verhalten für eine Signalübertragung sollte bereits bekannt sein. Neu ist nun, dass es sich bei dem Eingangssignal um einen sinusförmigen Verlauf handelt. Die formale Schreibweise hierfür ist:

Methode

Sinusförmiges Eingangssignal:
$ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $.

Wenn wir nun weiter davon ausgehen, dass die anfangs auftretenden Einschwingvorgänge abgeklungen sind, so zeigt sich das auch die Ausgangsgröße $ x_e(j \omega) $ in eine harmonische Funktion ändert, mit der gleichen Frequenz aber einer anderen Amplitude und Phasenlage [ $ \rho(\omega) $] als die Eingangsgröße $ x_e(j \omega) $

Methode

Sinusförmiges Ausgangssignal:
$ x_a(t) = \hat{x}_a \cdot sin( \omega t + \rho(\omega)) $

Sowohl die Phasenverschiebung $ \rho(\omega) $, als das Amplitudenverhältnis $ \frac{\hat{x}_a (\omega)}{\hat{x}_e} $ sind direkt abhängig von der Kreisfrequenz $\omega $ des Eingangssignals $ x_e(t) $.

Merke

Wir werden nachfolgend immer die komplexe Darstellung sinusförmiger Signale verwenden um unsere Berechnungen zu vereinfachen.

Daher betrachten wir das Eingangssignal als Imaginärteil der komplexen Funktion:

$ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $

$\Longrightarrow $

$ x_e(\omega t) = \hat{x}_e \cdot (cos(\omega t) + j sin(\omega t)) $.

Benutzen wir nun die EULERsche Gleichung mit $ (cos(\omega t) + j sin(\omega t)) = e^{j \omega t}) $, so werden unser Eingangssignal und Ausgangssignal jeweils zu:

Methode

Eingangssignal:
$ x_e(j \omega) = \hat{x}_e \cdot e^{j \omega t} $

$  $

Methode

Ausgangssignal:
$ x_a(j \omega) = \hat{x}_a \cdot e^{j(\omega t + \rho(\omega))} $ bzw. $ x_a(j \omega) = \hat{x}_a \cdot e^{j \omega t} \cdot e^{j \rho(\omega)} $

Merke

Der Frequenzgang $ F( j \omega) $ des Übertragungssystems ergibt sich aus dem Quotienten von Ausgangssignal und Eingangssignal:

Methode

Frequenzgang:
$ F ( j \omega) = \frac{x_a(j\omega)}{x_e(j \omega)} $

Eingesetzt dann:

Frequenzgang: $ F (j \omega) = \frac{\hat{x}_a \cdot e^{j \omega t} \cdot e^{j \rho(\omega)} }{ \hat{x}_e \cdot e^{j \omega t} }$

Durch entsprechendes Kürzen erhalten wir letztlich unsere finale Gleichung für den Frequenzgang mit:

Methode

Frequenzgang:
$ F (j\omega) = \frac{\hat{x}_a (\omega)}{ \hat{x}_e} \cdot e^{j \rho(\omega)} $

Merke

Sie sollten sich merken, dass der Frequenzgang immer das Verhältnis der sinusförmigen Ausgangsschwingung zur sinusförmigen Eingangsschwingung in komplexer Form für alle Kreisfrequenzen angibt. Daher ist der Frequenzgang eine komplexe Größe, die sich auf zweierlei Arten darstellen lässt.

1.Realteil und Imaginärteil: $ F (j \omega) = Re\{F (j\omega)\} + j Im\{F (j\omega)\} $

2. Betrag und Phase: $ F ( j \omega) = |F (j \omega)| \cdot e^{j\rho(\omega)} $

Die zugehörigen Gleichungen für den Betrag und die Phase sind:

Betrag: $ | F (j\omega)| = \sqrt{ Re^2\{F (j\omega)\} + Im^2\{F(j\omega)\}} $

Phase: $ \rho(\omega) = \rho\{ F(j\omega)\} = arctan \frac{Im\{F(j\omega)\}}{Re\{F (j\omega)\}} $

Wie Sie sehen, tauchen hier in beiden Gleichungen wieder Realteil und Imaginärteil auf.

Multiple-Choice
Gegeben ist die folgende Funktion:
$ G(s) = \frac{K}{1+Ts}$

Zerlegen Sie die Funktion in den Real- und Imaginärteil.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Erweitern Sie die Funktion mit $ (1 - iT \omega) $.

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    • Einleitung zu Einführung in die Regelungstechnik
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      • Einleitung zu Steuerung
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      • Steuerungstechnik
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    • Unterscheidung von Steuerung und Regelung
  • Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen
    • Einleitung zu Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen
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        • Fall 4 von 6: Elektrische Leistung als Signalflussplan
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    "Gut strukturierte und verständliche Darstellungen und Erklärungen. Sehr gute Übungen für das Fachvokabular."

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    "Mir gefällt der Kurs bisher sehr gut. Allerdings hoffe ich, dass der mathematische Teil später noch genauer erläutert wird."

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