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Regelungstechnik

Frequenzgang

Wir stellen uns ein Übertragungselement mit Eingangssignalen und Ausgangssignalen vor. Das Verhalten für eine Signalübertragung sollte bereits bekannt sein. Neu ist nun, dass es sich bei dem Eingangssignal um einen sinusförmigen Verlauf handelt.

Sinusförmiges Eingangssignal - Formal

Die formale Schreibweise hierfür ist:

Methode

Sinusförmiges Eingangssignal:
$ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $.

Sinusförmiges Ausgangssignal - Formal

Wenn wir nun weiter davon ausgehen, dass die anfangs auftretenden Einschwingvorgänge abgeklungen sind, so zeigt sich, dass sich die Ausgangsgröße $ x_e(j \omega) $ in eine harmonische Funktion ändert mit der gleichen Frequenz, aber einer anderen Amplitude und Phasenlage [ $ \rho(\omega) $] als die Eingangsgröße $ x_e(j \omega) $

Methode

Sinusförmiges Ausgangssignal:
$ x_a(t) = \hat{x}_a \cdot sin( \omega t + \rho(\omega)) $

Sowohl die Phasenverschiebung $ \rho(\omega) $ als auch das Amplitudenverhältnis $ \frac{\hat{x}_a (\omega)}{\hat{x}_e} $ sind direkt abhängig von der Kreisfrequenz $\omega $ des Eingangssignals $ x_e(t) $.

Merke

Wir werden nachfolgend immer die komplexe Darstellung sinusförmiger Signale verwenden um unsere Berechnungen zu vereinfachen.

Daher betrachten wir das Eingangssignal als Imaginärteil der komplexen Funktion:

$ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $

$\Longrightarrow $

$ x_e(\omega t) = \hat{x}_e \cdot (cos(\omega t) + j sin(\omega t)) $.

Eulersche Gleichung

Benutzen wir nun die EULERsche Gleichung mit $ (cos(\omega t) + j sin(\omega t)) = e^{j \omega t}) $, so werden unser Eingangssignal und Ausgangssignal jeweils zu:

Methode

Eingangssignal:
$ x_e(j \omega) = \hat{x}_e \cdot e^{j \omega t} $

$  $

Methode

Ausgangssignal:
$ x_a(j \omega) = \hat{x}_a \cdot e^{j(\omega t + \rho(\omega))} $ bzw. $ x_a(j \omega) = \hat{x}_a \cdot e^{j \omega t} \cdot e^{j \rho(\omega)} $

Frequenzgang - Formal

Merke

Der Frequenzgang $ F( j \omega) $ des Übertragungssystems ergibt sich aus dem Quotienten von Ausgangssignal und Eingangssignal:

Methode

Frequenzgang:
$ F ( j \omega) = \frac{x_a(j\omega)}{x_e(j \omega)} $

Eingesetzt dann:

Frequenzgang: $ F (j \omega) = \frac{\hat{x}_a \cdot e^{j \omega t} \cdot e^{j \rho(\omega)} }{ \hat{x}_e \cdot e^{j \omega t} }$

Durch entsprechendes Kürzen erhalten wir letztlich unsere finale Gleichung für den Frequenzgang mit:

Methode

Frequenzgang:
$ F (j\omega) = \frac{\hat{x}_a (\omega)}{ \hat{x}_e} \cdot e^{j \rho(\omega)} $

Merke

Du solltest Dir merken, dass der Frequenzgang immer das Verhältnis der sinusförmigen Ausgangsschwingung zur sinusförmigen Eingangsschwingung in komplexer Form für alle Kreisfrequenzen angibt. Daher ist der Frequenzgang eine komplexe Größe, die sich auf zweierlei Arten darstellen lässt.

1.Realteil und Imaginärteil: $ F (j \omega) = Re\{F (j\omega)\} + j Im\{F (j\omega)\} $

2. Betrag und Phase: $ F ( j \omega) = |F (j \omega)| \cdot e^{j\rho(\omega)} $

Die zugehörigen Gleichungen für den Betrag und die Phase sind:

Betrag: $ | F (j\omega)| = \sqrt{ Re^2\{F (j\omega)\} + Im^2\{F(j\omega)\}} $

Phase: $ \rho(\omega) = \rho\{ F(j\omega)\} = arctan \frac{Im\{F(j\omega)\}}{Re\{F (j\omega)\}} $

Wie Du siehst, tauchen hier in beiden Gleichungen wieder Realteil und Imaginärteil auf.