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Regelungstechnik - Ähnlichkeitssatz

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Regelungstechnik

Ähnlichkeitssatz

Mit dem Ähnlichkeitssatz kann die unbekannte LAPLACE-Transformierte einer Zeitfunktion unter Kenntnis der LAPLACE-Tranformierten einer anderen Zeitfunktion berechnet werden. 

Merke

Mit dem Ähnlichkeitssatz lassen sich die Bildvariablen berechnen, wenn die Variable $ t $ mit einer Konstanten multipliziert wird. Die Bedingung hierfür ist, dass die Konstante $ a > 0 $ und reell ist.

Ähnlichkeitssatz - Formal

 Die Gleichung für die LAPLACE-Transformierte ist wie folgt:

Methode

Ähnlichkeitssatz: $ L \{f(a\cdot t)\} = \frac{1}{a} \cdot f( \frac{s}{a}) $ sowie $ L\{f(\frac{t}{a})\} = a \cdot f(a\cdot s) $

Beispiel: 

Beispiel

Erneut liegt eine Sinusfunktion $ x_{e1}(t) $ vor. Wir möchten nun die LAPLACE-Transformierte von $ x_{e2}(t) $ bestimmen. 
Ähnlichkeitssatz
Ähnlichkeitssatz

Die Gleichung für die Sinusfunktion ist: $ x_{e1}(t) = sin (\omega_1 t) $

Für die LAPLACE-Transformation gilt dann:

Methode

$ x_{e1}(s) = L\{sin(\omega_1 t\} = \frac{\omega_1}{s^2 + \omega_1^2} $

Aus diesen  beiden Gleichungen lässt sich dann die LAPLACE-Transformierte der Zeitfunktion $ x_{e2}(t)$, also

Methode

$ x_{e2}(t) = \sin(\omega_2 t) = \sin(\omega_2 t), $ mit $ \omega_2 = 0,5 \cdot \omega_1 $

unter Verwendung des Ähnlichkeitssatzes berechnen:

Methode

$ x_{e2}(s) = L \{sin(\omega_2 t)\} = L\{sin(0,5 \cdot \omega_1 t)\} = \frac{1}{0,5} \cdot \frac{\omega_1}{(\frac{s}{0,5})^2 + \omega_1^2} = \frac{0,5 \cdot \omega_1}{s^2 + ( 0,5 \cdot \omega_1)^2} $

Im zweiten Schritt ist es dann auch kein Problem mehr die zweite Zeitfunktion grafisch darzustellen:

Ähnlichkeitssatz
Ähnlichkeitssatz

Merke

Kurz gesagt: Liegen zwei bekannte Zeitfunktionen vor, von denen zudem für die eine die LAPLACE-Transformierte bekannt ist, sowie eine Verhältnisangabe (hier  $ \omega_2 = 0,5 \cdot \omega_1 $) , so kann mit dem Ähnlichkeitssatz die unbekannte LAPLACE-Transformierte der anderen Zeitfunktion berechnet werden.