Faltungssatz

Möchte man zwei LAPLACE-Transformierte miteinander multiplizieren, also das Produkt bilden, so rechnet man im Zeitbereich mit dem Faltungsintegral.

Das Faltungsintegral ist formal definiert durch:

Beispiel:

Die LAPLACE-Transformierte $ f(s) hat folgende Form:

$ f(s) = f_1(s) \cdot f_2(s) = \frac{1}{s + a} \cdot $

die beiden Originalfunktionen sind:

$ f_1(t) = L^{-1} \{ \frac{1}{s + a} \} = e^{-at} $

$ f_2(t) = L^{-1} \{  \frac{1}{s + b} \} = e^{-bt} $

Unter Anwendung des Faltungssatzes lässt sich nun die Originalfunktion $ f(t) $ zu f(s) $ berechnen:

$ f(t) = f_1(t) \cdot f_2(t) = \int_0^t e^{-a(t-\tau)} \cdot e^{-b\tau} d\tau = e^{-at} \int_0^t e^{(a - b)\tau} d\tau \rightarrow $

$ f(t) = \frac{e^{-at}}{a - b} \cdot e^{(a- b)\tau} |_0^t  \rightarrow $

$ f(t) = \frac{e^{-at}}{a - b} \cdot ( e^{(a - b)t} - 1) \rightarrow $

$ f(t) = \frac{1}{a - b} \cdot ( e^{-bt} - e^{-at}) $