Original- und Bildbereich

Man bezeichnet den Bereich in dem eine mathematische Operation durchgeführt wird als Originalbereich. Transformiert man nun eine gegebene Differenzialgleichung, so wird diese im Bildbereich abgebildet und stellt nun eine einfache algebraische Gleichung dar. Denn im Bildbereich wird eine entsprechende Rechenoperation niederer Ordnung vorgenommen. Zu diesem Zeitpunkt liegt lediglich ein Zwischenergebnis vor, das es zum Ende wieder in den Originalbereich zurück zu transformieren gilt, um ein Endergebnis zu erhalten.

Zeitbereich und Frequenzbereich

Wie Du ja bereits weißt, liegen bei den Berechnungen in der Regelungstechnik hauptsächlich Zeitfunktionen vor, weshalb man hier im Rahmen der LAPLACE-Transformation anstelle des Begriffes Originalbereich von einem Zeitbereich spricht. Gleiches gilt für den Bildbereich, dieser erhält den treffenderen Ersatzbegriff Frequenzbereich.

Vorteile der LAPLACE-Transformation

• Der Übergang vom Zeitbereich in den Frequenzbereich und zurück kann mit der Hilfe von Tabellen leicht vollzogen werden. (In einem späteren Abschnitt dieses Kurses werden wir auf die Besonderheiten dieser Tabellen, auch Korrespondenztabellen genannt, eingehen.)
• Im Frequenzbereich müssen einfachere Rechenoperation ausgeführt werden als im Zeitbereich.

LAPLACE-Variable

Die LAPLACE-Variable ist definiert durch:

Alternativ trägt sie auch den Namen komplexe Bildvariable oder komplexe Kreisfrequenz.

Beispiele für Differenziation und Integration

Um Dir zu zeigen wie die LAPLACE-Transformation abläuft, werden wir eine Differenziation und eine Integration mit den beispielhaften Funktionen $ \frac{d}{dt} (t \cdot e^{at}) $ und $ \int t dt $ durchführen.

Hinweis

Die Differenziation im Zeitbereich wird im Frequenzbereich durch eine Multiplikation mit der komplexen Bildvariablen $ s $ dargestellt.

Bei einer Integration im Zeitbereich, erfolgt im Frequenzbereich eine Division mit der komplexen Bildvariablen $ s$.

In der ersten Abbildung siehst Du das Transformationsschema für die Differenziation:

Laplace-Transformation

in der zweiten Abbildung ist das Transformationsschema für eine Integration abgebildet:

Laplace-Transformation