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Regelungstechnik

Verschiebesätze, Dämpfungssatz

In der Regelungstechnik werden bei Totzeitelementen Anregungsfunktionen um die Totzeit $ T_t $ verzögert am Ausgang wirksam. Es besteht die Möglichkeit spezielle Anregungsfunktionen als Summe von verzögert einsetzenden Standardfunktionen darzustellen. Wir werden Dir nachfolgend drei Verschiebungsarten vorstellen:

1. Rechtsverschiebung im Zeitbereich
2. Linksverschiebung im Zeitbereich
3. Verschiebung im Frequenzbereich, bzw. Dämpfungssatz

1. Rechtsverschiebung im Zeitbereich (t - T)

Es liegt eine zeitverschobene Funktion $ f(t - T) $ vor. Diese wird im Frequenzbereich durch Multiplikation der nicht verschobenen transformierten Zeitfunktion $ f(s) $ und einem Verschiebungsoperator $ e^{-Ts} $ dargestellt. Formal beschrieben äußert sich dies durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Verschiebesatz (rechts): $ L \{ f( t- T) \} = e^{-T s} \cdot L \{ f(t)\} = e^{-T s} \cdot f(s) $, mit $T > 0 $

Wir möchten nun diese Gleichung für zwei typische Anwendungsfälle vorstellen. In der ersten Abbildung siehst Du den Verlauf eines verschobenen Einheitssprunges:

Verschobener Einheitssprung
Verschobener Einheitssprung

Die notwendigen Gleichungen sind:

$ x_e(t) =  \begin{equation}  E (t-T)  = \begin{cases}  0 \ \ \text{für} \ \ t  \le T  \\ \ 1 \ \  \text{für} \ \  t > T  \end{cases} \end{equation} $ 

$ x_e(t) = f(t - T) $ wobei $ f(t) = E(t) $

LAPLACE Transformation  $ \rightarrow$

$ x_e(s) = L \{ f( t - T) \} = e^{- T s} \cdot L \{ f(t)\} = e^{- T s} \cdot f(s) = e^{- T s} \cdot \frac{1}{s} $

2. Linksverschiebung im Zeitbereich (t + T)

Liegt hingegen eine Linksverschiebung im Zeitbereich vor, so ändert sich die Gleichung zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Verschiebesatz (links): $ L \{ f (t + T) \} = e^{+ T s} \cdot [ f(s) - \int_0^T f(t) \cdot e^{-st} dt] $ für $ T \le 0 $

3. Verschiebung im Frequenzbereich

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Bei einer Verschiebung im Frequenzbereich bezeichnet man den Verschiebungssatz mit dem Begriff Dämpfungssatz.

Hier beginnt alles mit einer Multiplikation der Zeitfunktion mit einer e-Funktion im Zeitbereich, woraufhin es dann zu einer Verschiebung der transformierten Funktion im Frequenzbereich kommt. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Dämpfungsatz: $ L\{e^{-at} \cdot f (t) \} = f (s + a) $

Beispiel:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Es liegt eine Zeitfunktion in der Form $ e^{-3 t} \cdot t $ vor. Führen Sie hierfür die LAPLACE-Transformation durch.

Die Kennzahlen, die wir aus dieser Zeitfunktion ableiten können sind nachfolgend aufgeführt:

$ a = 3 $

$ f(t) = t $

$ f(s) = \frac{1}{s^2} $

$ f(s + a) = \frac{ 1}{(s + a)^2} $

Unsere LAPLACE-Transformierte hat dann die Form:

$ L \{ e^{-at} \cdot t \} = f(s + a) = \frac{1}{(s + a)^2} = \frac{1}{(s + 3)^2}$