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Regelungstechnik

Verschiebesätze, Dämpfungssatz

In der Regelungstechnik werden bei Totzeitelementen Anregungsfunktionen um die Totzeit $ T_t $ verzögert am Ausgang wirksam. Es besteht die Möglichkeit spezielle Anregungsfunktionen als Summe von verzögert einsetzenden Standardfunktionen darzustellen. Wir werden Dir nachfolgend drei Verschiebungsarten vorstellen:

1. Rechtsverschiebung im Zeitbereich
2. Linksverschiebung im Zeitbereich
3. Verschiebung im Frequenzbereich, bzw. Dämpfungssatz

1. Rechtsverschiebung im Zeitbereich (t - T)

Es liegt eine zeitverschobene Funktion $ f(t - T) $ vor. Diese wird im Frequenzbereich durch Multiplikation der nicht verschobenen transformierten Zeitfunktion $ f(s) $ und einem Verschiebungsoperator $ e^{-Ts} $ dargestellt. Formal beschrieben äußert sich dies durch:

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerschiebesatz (rechts): $ L \{ f( t- T) \} = e^{-T s} \cdot L \{ f(t)\} = e^{-T s} \cdot f(s) $, mit $T > 0 $

Wir möchten nun diese Gleichung für zwei typische Anwendungsfälle vorstellen. In der ersten Abbildung siehst Du den Verlauf eines verschobenen Einheitssprunges:

Verschobener Einheitssprung
Verschobener Einheitssprung

Die notwendigen Gleichungen sind:

$ x_e(t) =  \begin{equation}  E (t-T)  = \begin{cases}  0 \ \ \text{für} \ \ t  \le T  \\ \ 1 \ \  \text{für} \ \  t > T  \end{cases} \end{equation} $ 

$ x_e(t) = f(t - T) $ wobei $ f(t) = E(t) $

LAPLACE Transformation  $ \rightarrow$

$ x_e(s) = L \{ f( t - T) \} = e^{- T s} \cdot L \{ f(t)\} = e^{- T s} \cdot f(s) = e^{- T s} \cdot \frac{1}{s} $

2. Linksverschiebung im Zeitbereich (t + T)

Liegt hingegen eine Linksverschiebung im Zeitbereich vor, so ändert sich die Gleichung zu:

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerschiebesatz (links): $ L \{ f (t + T) \} = e^{+ T s} \cdot [ f(s) - \int_0^T f(t) \cdot e^{-st} dt] $ für $ T \le 0 $

3. Verschiebung im Frequenzbereich

Merke

Hier klicken zum AusklappenBei einer Verschiebung im Frequenzbereich bezeichnet man den Verschiebungssatz mit dem Begriff Dämpfungssatz.

Hier beginnt alles mit einer Multiplikation der Zeitfunktion mit einer e-Funktion im Zeitbereich, woraufhin es dann zu einer Verschiebung der transformierten Funktion im Frequenzbereich kommt. 

Methode

Hier klicken zum AusklappenDämpfungsatz: $ L\{e^{-at} \cdot f (t) \} = f (s + a) $

Beispiel:

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenEs liegt eine Zeitfunktion in der Form $ e^{-3 t} \cdot t $ vor. Führen Sie hierfür die LAPLACE-Transformation durch.

Die Kennzahlen, die wir aus dieser Zeitfunktion ableiten können sind nachfolgend aufgeführt:

$ a = 3 $

$ f(t) = t $

$ f(s) = \frac{1}{s^2} $

$ f(s + a) = \frac{ 1}{(s + a)^2} $

Unsere LAPLACE-Transformierte hat dann die Form:

$ L \{ e^{-at} \cdot t \} = f(s + a) = \frac{1}{(s + a)^2} = \frac{1}{(s + 3)^2}$