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Regelungstechnik - Mehrere Variablen

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Regelungstechnik

Mehrere Variablen

In unseren vorangegangenen Betrachtungen waren die Signalflusspläne immer so beschaffen, dass eine Eingangsgröße und einer Ausgangsgröße vorlagen. In der Realität ist es aber meistens der Fall, dass mehrere Eingangsgrößen zu einer Ausgangsgröße führen.

Nachfolgend sehen Sie ein Übertragungssystem mit mehreren EingangsVariablen.

Übertragungselement
Übertragungselement

Dieses Übertragungssystem gilt es nun zu linearisieren. Bevor wir nun mit der Linearisierung beginnen, stellen wir eine typische Gleichung auf:

$ x_a(t) = f (x_{e1}(t), x_{e2}(t),x_{e3}(t),.... x_{em}(t)) $

Dieses Übertragungssystem kann ein nichtlineares Übertragungsverhalten Bezug auf die einzelnen Eingangssignale besitzen.

Der Berechnungsvorgang ist identisch mit unserer bisherigen Vorgehensweise, nur mit dem Unterschied, dass jetzt für jede Eingangsvariable der Gleichung eine Reihenentwicklung nach dem Taylorschen-Satz durchgeführt werden muss.

Formal lässt sich dies durch die Summenschreibweise darstellen.

$ x_a (t) =x_{aA} + \Delta x_a (t) \approx f(x_{e1A}, x_{e2A}, x_{e3A},... x_{emA}) + \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_{ei}}|_A \cdot \Delta x_{ei} (t) $.

Erneut subtrahieren wir den Funktionswert im Arbeitspunkt und erhalten dann:

$\Delta_{xA} (t) \approx \frac{\partial f}{\partial x_{e1}}|_A \cdot \Delta x_{e1}(t) + \frac{\partial f}{\partial x_{e2}}|_A \cdot \Delta x_{e2}(t) +\frac{\partial f}{\partial x_{e3}}|_A \cdot \Delta x_{e3}(t) +....+ \frac{\partial f}{\partial x_{em}}|_A \cdot \Delta x_{em}(t) $

Für unser Übertragungselement in linearisierter Form gilt somit die Beziehung

$\Delta x_a(t) = K_{p1} \cdot \Delta x_{e1}(t) + K_{p2} \cdot \Delta x_{e2}(t) + K_{p3} \cdot \Delta x_{e3}(t) + .... + K_{pm} \cdot \Delta x_{em}(t) $

Aus dieser Gleichung können wir dann ein Signalflussbild erstellen, bei der jede Eingangsvariable einen eigenen Proportionalbeiwert besitzt:

Proportionalbeiwert
Proportionalbeiwert

Anwendungsbeispiel

Beispiel

In diesem Beispiel liegt ein nichtlineares Übertragungselement mit einer Ausgangsvariable und zwei Eingangsvariablen vor. Die zugehörige Gleichung ist

$\ x_a(t) = f(x_{e1} (t), x_{e2}(t)) = \frac{x^2_{e1}(t)}{x_{e2}(t)}$

Diese Gleichung soll für folgende Werte im Arbeitspunkt linearisiert werden:

  • $x_{e1A} = 1$
  • $x_{e2A} = 2 $
  • $x_{aA} = 0,5 $

Mithilfe der Taylor-Reihenentwicklung erhalten wir zwei Terme, die jeweils von den beiden Eingangsvariablen abhängen:

$ \Delta x_a(t) = \frac{2 \cdot x_{e1A}}{x_{e2A} \cdot \Delta x_{e1}(t)} - [\frac{x_{e1A}}{x_{e2A}^2 \cdot \Delta x_{e2}(t)} ]$

Die Proportionalbeiwerte im Arbeitspunkt sind dann

$\Delta x_A (t) = K_{p1} \cdot \Delta x_{e1} (t) + K_{p2} \cdot \Delta x_{e2} (t) = \Delta x_{e1} (t) - 0,25 \cdot \Delta x_{e2} (t). $

Signalflusssymbole

in der Abbildung sind die Signalflusssymbole für die nichtlineare und die linearisierte Regelstrecke dargestellt:

Signalflusssymbole
Signalflusssymbole