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Regelungstechnik

Normierung

Die Normierung von Gleichungen dient zur Vereinfachung von regelungstechnischen Verfahren indem normierte dimensionslose Größen eingeführt werden.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Eine Normierung bewirkt, dass Größen des Regelungssystems auf charakteristische Werte bezogen werden können.

Dies geschieht, in dem man die Größen durch die besagten charakteristischen Werte dividiert und diese damit dimensionslos macht. Zum Einsatz kommen Nenngrößen oder Größen des Arbeitspunktes, die unter dem Begriff Betriebswerte zusammengefasst werden.

Wir beginnen unsere Betrachtung für eine Regelstrecke mit linearer Gleichung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ x = K_S \cdot f(y) $

Größen:
Regelgröße: $ x $
Stellgröße: $ y $
Übertragungsfaktor: $ K_S $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Besitzen die Regelgröße und die Stellgröße eine identische Dimension hat der Übertragungsfaktor eine Dimension gleich eins. Ist die Dimension beider Größen jedoch unterschiedlich, so weicht die Dimension des Übertragungsfaktors vom Wert eins ab.

Die nächste Gleichung stellt die normierte Darstellung der obigen Gleichung dar:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ \frac{x}{x_N} = K_S \cdot \frac{1}{x_N} \cdot f (y_N \cdot \frac{y}{y_N}) = x' $
$\longrightarrow $
$ x' = K_S \cdot \frac{y_N}{x_N} \cdot f (y') = K_S' \cdot f(y') $

Größen:
Normierte Größen: $ x', y', K_S' $
Index der Nennwerte der Regelstrecke: $ N$

Im Gegensatz zu der ersten Gleichung sind die Größen in der zweiten Gleichung nun dimensionslos.

Vorteile einer Normierung

Du fragst Dich vielleicht im Moment, worin die Vorteile der normierten Darstellung bestehen. Die Vorteile haben wir Dir nachfolgend aufgelistet:

  • Man erhält einfachere dimensionslose Gleichungen,
  • der Signalflussplan wird ebenfalls einfacher und dadurch übersichtlicher,
  • eine Vergleichbarkeit ähnlicher Systeme wird durch die Normierung verbessert.

Anhand eines Beispiels möchten wir Dir nun diesen Vorgang nochmals verdeutlichen:

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Wir betrachten einen Generator. Die Spannung $ U_x $ des Generators hängt in unserem Beispiel von einer Drehzahl $ n_y $ ab. Je nach Ausführung des Generators variiert die Generatorkonstante mit dem Faktor $ K_S $.

Die lineare Gleichung für die Regelstrecke des Generators ist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ U_x = K_S \cdot n_y $.

Wir nehmen nun eine Normierung der Nenndrehzahl $ n_y $ vor. Dadurch ändert sich unsere Nennspannung zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ U_{xN} = K_S \cdot n_{yN} $

Damit können wir nun unsere normierte Gleichung aufstellen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Normierte Form der Gleichung: $ \frac{U_x}{U_{xN}} = \frac{K_S \cdot n_y}{K_S \cdot n_{yN}} = U_x' = n_y' $.

Mit dieser Form der Gleichung wird unsere Dimensionsgleichung zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Dimensionsgleichung: $ [1] = [1] $.

Zahlenbeispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen In diesem Beispiel liegt eine Geschwindigkeitsgleichung vor, bei der die Werte unterschiedliche Dimensionen haben. Unser Ziel ist es nun die Gleichung zu normieren.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Geschwindigkeitsgleichung: $ v(t) = \frac{d_x(t)}{dt} $

Dimension der Werte:


$ v_N = 2 m \cdot s^{-1} $
$ x_N = 0,5 m $.

Im ersten Schritt werden wir nun die veränderte Gleichung aufstellen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ \frac{v(t)}{v_N} = \frac{x_N}{v_N} \cdot \frac{d ( \frac{x(t)}{x_N})}{dt} $

Diese Gleichung selbst bringt uns aktuell noch nicht nicht viel. Wir benötigen eine Zeitkonstante $ T_D $, die die Relation zwischen den beiden Größen herstellt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Zeitkonstante: $ T_D  = \frac{x_N}{v_N} = \frac {0,5 m}{2 \, m\cdot s^{-1}} = 0,25 s $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Der Index D für die Zeitkonstante bedeutet, dass es sich um eine Differenzierzeitkonstante handelt.

Nun haben wir alle Größen die wir benötigen um die normierte Gleichung aufzustellen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Normierte Form der Geschwindigkeitsgleichung: $ v'(t) = T_D \cdot \frac{d_x' (t)}{dt} $.

Fehlt zuletzt nur noch die Dimensionsgleichung, die die Form

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Dimensionsgleichung:  $ [1] = [s] \cdot [ \frac{1}{s} ] $

hat.