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Quelle und Senke (Divergenz)

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Mittels der Divergenz $\text{div}$ lässt sich eine Aussage darüber treffen, wieviel mehr aus einer Umgebung eines bestimmten Punktes hinausfließt als hineinfließt. Ist die Divergenz positiv, so handelt es sich bei dem betrachteten Punkt um eine Quelle. Es fließt also mehr hinaus, als hinein. Ist die Divergenz negativ, so handelt es sich bei dem betrachteten Punkt um eine Senke. Das bedeutet wiederrum, es fließt mehr hinein, als hinaus. Ergibt sich eine Divergenz von Null, so handelt es sich im ein quell- und senkfreies Feld. 

Die Divergenz berechnet sich durch:

$\text{div} \; \vec{w} = \nabla \cdot \vec{w}$

mit

$\nabla = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} $  und  $\vec{w} = \begin{pmatrix} w_x\\ w_y \\ w_z \end{pmatrix}$ 

Es ergibt sich also:

$\text{div} \; \vec{w} = \nabla \cdot \vec{w} =  \frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} + \frac{\partial w_z}{\partial z}$


Da es sich hier um ebene Strömungen handelt, gilt:

Methode

$\text{div} \; \vec{w} = \nabla \cdot \vec{w} = \frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} $          Divergenz (Ebene)

Quelle und Senke

Es liegt eine Quelle vor, wenn: 

$\frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} > 0$.

Es liegt eine Senke vor, wenn:

$\frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} < 0$.

Es liegt eine Quell- bzw. Senkfreiheit vor, wenn:

$\frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} = 0$.

Man bezeichnet ein Vektorfeld, dessen Divergenz Null ist, als quellfrei, denn hier ist für beliebige geschlossene Flächen der Fluss gleich Null, d. h., netto fließt nicht mehr heraus als herein. Es gibt also im Inneren des Volumens, das von der Fläche umschlossen wird, weder Quellen noch Senken. Die Geschwindigkeitsfelder von inkompressiblen Strömungen sind aufgrund der Kontinuitätsgleichung quellfrei. Das bedeutet also, dass die hier behandelten Stromfunktionen und Potentialfunktionen Quellfrei sind (aufgrund der Kontinuitätsgleichung).

Anwendungsbeispiele: Quelle und Senke

Beispiel

Gegeben sei die Stromfunktion $\Psi (x,y) = x^2 - y^2$. Liegt eine Quelle, Senke oder Quellfreiheit vor? 

Die Bestimmung einer Quelle, Senke oder der Quellfreiheit, kann mit der folgenden Formel bestimmt werden:

$\text{div} \; \vec{w} = \nabla \cdot \vec{w} = \frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} $ 

Zunächst müssen aber aus der Stromfunktion die Geschwindigkeitskomponenten $w_x$ und $w_y$ bestimmt werden. Dies geschieht mit (siehe Abschnitt Stromfunktion):

$w_x = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$,

$w_y = - \frac{\partial \Psi}{\partial x}$.

$w_x = -2y$

$w_y = -2x$   (Minuszeichen laut Formel nicht vergessen)

Anwendung der Formel durch Ableitung von $w_x$ nach $x$ und $w_y$ nach $y$ und dann Addition der Ergebnisse:

$\text{div} \; \vec{w} = 0 + 0 = 0$.

Das bedeutet, dass jeder Punkt dieses Feldes quellfrei ist.

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Quelle und Senke (Divergenz) ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Strömungslehre.

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