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Strömungslehre - Stromfunktion

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Strömungslehre

Stromfunktion

Methode

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Eine Stromlinie ist eine Kurve, die zu einer festen Zeit $t_0$ in jedem ihrer Punkte $(x, y)$ eine zum zugehörigen Geschwindigkeitsvektor $\vec{w} = (w_x; \; w_y)$ parallele Tangente besitzt. Die Stromlinien lassen sich als Höhenlinien der Stromfunktion $\Psi (x,y) = const.$ darstellen.

In dem hier betrachteten speziellen Fall von ebenen Strömungen, kann man das Geschwindigkeitsfeld $\vec{w}$ in Form einer Stromfunktion $\Psi$ angeben. Zunächst lässt sich das Geschwindigkeitsfeld bzw. der Geschwindigkeitsvektor schreiben als:

$\vec{w} = [w_x(x, y, t); \; w_y(x, y, t); \; 0]$.

Merke

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Die Stromfunktion ist nur für zweidimensionale (ebene) Strömungen anwendbar. Außerdem ist sie sowohl für drehungsfreie (bzw. wirbelfreie) als auch für drehungsbehaftete (bzw. wirbelbehaftete) Strömungen gültig.


Die Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten $w_x$ und $w_y$ aus der Stromfunktion können wie folgt bestimmt werden:

Methode

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$w_x = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$,

$w_y = - \frac{\partial \Psi}{\partial x}$.

Die Kontinuitätsgleichung lässt sich dann schreiben als:

Methode

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$\frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} = 0$.

Dabei ist $\Psi$ die Stromfunktion. Diese wird durch Stromlinien dargestellt, d.h. Linien, die in jedem Punkt tangential zum Geschwindigkeitsvektor $\vec{w}$ liegen. Die Stromlinien lassen sich als Höhenlinien der Stromfunktion $\Psi (x,y) = const.$ darstellen. Um eine mögliche Stromfunktion nachweisen zu können, kann man diese zunächst nach $y$ und nach $x$ ableiten, um die Geschwindigkeitskomponenten $w_x$ und $w_y$ (Beachtung des Minuszeichens) zu erhalten. Danach muss man die Komponente $w_x$ nach $x$ und $w_y$ nach $y$ ableiten. Ergibt die Addition der beiden Ergebnisse dann null (siehe Kontinuitätsgleichung), so liegt eine mögliche Stromfunktion vor.

In der obigen Grafik ist eine Stromlinie gegeben. In einem beliebigen Punkt wird der Geschwindigkeitsvektor $w$ gezeigt, welcher die Stromlinie in diesem Punkt tangiert. Dieser Geschwindigkeitsvektor kann in die zwei Komponenten (ebene) $w_x$ und $w_y$ aufgeteilt werden. Den Winkel des Geschwindigkeitsvektors (also der Tangente an die Stromlinie in dem betrachteten Punkt) zur Horizontalkomponente $w_x$ kann man mittels Tangens bestimmen:

$\tan (\alpha) = \frac{w_y}{w_x}$.

Die Bildung des totalen Differentials der Stromfunktion zu einem festen Zeitpunkt $t_0$ ergibt dann die Gleichung:

$d \Psi = \frac{\partial \Psi}{\partial x} dx + \frac{\partial \Psi}{\partial y} dy$


Nach einsetzen von $w_x = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$ und $w_y = -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$ ergibt sich dann:

Methode

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$d \Psi = -w_y \; dx + w_x \; dy$

Die Linien mit konstanten Werten $\Psi = const$ und daher $d \Psi = 0$ werden Stromlinien genannt. 

Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien

Um den Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien angeben zu können, bedient man sich der folgenden Gleichung:

$\dot{V}_{12} = b (\Psi_2 - \Psi_1)$.

Der Volumenstrom pro Breite ergibt sich dann durch:

Methode

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$\frac{\dot{V}_{12}}{b} = \Psi_2 - \Psi_1$

Im nachfolgenden Abschnitt wird ein ausführliches Beispiel zum Nachweis der Stromfunktion, zur Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors allgemein und in einem Punkt der Stromfunktion sowie der Bestimmung des Volumenstroms aufgezeigt. Die Ergebnisse werden grafisch visualisiert.