Beispiel: Stromfunktion

(a) Nachweis der Stromfunktion

Um den Nachweis für die Stromfunktion zu erbringen, müssen zunächst die Geschwindigkeitskomponenten bestimmt werden mit:

$w_x = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$,

$w_y = -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$.

Zunächst wird die Komponente $w_x$ bestimmt. Hierbei muss die Stromfunktion nach $y$ abgeleitet werden:

$w_x = 1 + 2x$.

Zur Bestimmung der Komponente $w_y$ muss die Stromfunktion nach $x$ abgeleitet werden (Minuszeichen beachten):

$w_y = -2y$.

Als nächstes muss die Kontinuitätsgleichung erfüllt sein:

$\frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} = 0$.

Hierfür muss die Komonente $w_x$ nach $x$ abgeleitet werden und die Komponente $w_y$ nach $y$:

$\frac{\partial w_x}{\partial x}  = 2$

$\frac{\partial w_y}{\partial y} = -2$.

Die Addition der abgeleiteten Komponenten muss null ergeben:

$2 - 2 = 0$.

Die Kontinuitätsgleichung ist erfüllt und damit ist diese Funktion eine mögliche Stromfunktion.

(b) Stromfunktion für festgelegte Punkte

Die Punkte werden in die Stromfunktion eingesetzt:

$\Psi_1 = y + 2xy = 0 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

$\Psi_2 = 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 3$.

Es handelt sich hierbei um zwei unterschiedliche Stromfunktionen, da zwei unterschiedliche Werte resultieren. Das bedeutet also, dass die Punkte auf unterschiedlichen Stromlinien liegen. In der unteren Grafik sind die beiden Stromlinien und die beiden Punkte eingezeichnet. Man sieht deutlich, dass die beiden Punkte auf unterschiedlichen Stromlinien liegen. Man kann sich die Stromlinien wie Höhenlinien vorstellen, d.h. also man hat eine Draufsicht von oben auf die Stromfunktion. Man sieht auch ganz deutlich, dass sich die Stromlinien nicht schneiden. Sie nähern sich immer weiter aneinander an, aber schneiden sich nicht.

(c) Tangenten = Geschwindigkeitsvektoren

Die Tangenten in jedem Punkt der Stromlinien stellen die Geschwindigkeitsvektoren dar. Die Tangenten lassen sich durch die Geschwindigkeitskomponenten ausdrücken:

$w_x = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$,

$w_y = -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$.

Der Geschwindigkeitsvektor ist demnach:

$\vec{w} = (w_x; \; w_y)$.

In diesem Beispiel:

$w_x = 1 + 2x$

$w_y = -2y$

$\vec{w} = (1 + 2x; \; -2y)$.

Das ist der Geschwindigkeitsvektor (Tangentenvektor) für die in diesem Beispiel angegebene Stromfunktion. Um nun den Geschwindigkeitsvektor in einem Punkt zu erhalten, muss dieser berücksichtigt werden.

$P_1 (0,0)$

$\vec{w}_1 = (1 + 2 \cdot 0; \; -2 \cdot 0) = (1; \; 0)$.

Das bedeutet also, dass der Geschwindigkeitsvektor vom Ursprung auf den Punkt $(1; \; 0)$ zeigt. Der Geschwindigkeitsvektor muss nun parallel zu sich selbst in den betrachteten Punkt $P_1(0,0)$ verschoben werden. Da der betrachtete Punkt den Ursprung darstellt, ist eine Verschiebung hier nicht erforderlich:

Für den zweiten Punkt $P_2(1,1)$ ergibt sich der Geschwindigkeitsvektor zu:

$\vec{w}_1 = (1 + 2 \cdot 1; \; -2 \cdot 1) = (3; \; -2)$.

Das bedeutet also, dass der Geschwindigkeitsvektor vom Ursprung auf den Punkt $(3; \; -2)$ zeigt. Der Geschwindigkeitsvektor muss nun parallel zu sich selbst in den betrachteten Punkt $P_2(1,1)$ verschoben werden:

Es ist deutlich zu erkennen, dass die Geschwindigkeitsvektoren die Stromlinien in den betrachteten Punkten tangieren.

Dieses Vorgehen sollte aus der Vorlesung bzw. unserem Kurs "Höhere Mathematik 2: Tangentenvektor" bekannt sein.

(d) Richtung des Geschwindigkeitsvektors

Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors zur Horizontalkomponente $w_x$ lässt sich mittels Tangens bestimmen:

$\tan (\alpha) = \frac{w_y}{w_x}$.

Aufgelöst nach $\alpha$ ergibt sich:

$\alpha = \tan^{-1} (\frac{w_y}{w_x})$

Die Komponenten wurden oben berechnet und lauten:

$w_x = 1 + 2x$

$w_y = -2y$.

Im Punkt (1,1) gilt demnach:

$w_x = 3$

$w_y = -2$.

Einsetzen ergibt:

$\alpha = \tan^{-1} (\frac{-2}{3}) = -33,7°$

In der obigen Grafik ist der Geschwindigkeitsvektor (Tangente) im Punkt (1,1) an den Stromlinien $\Psi = 3$ veranschaulicht. Die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors $w_x$ und $w_y$ sind ebenfalls eingezeichnet. Hierbei muss beachtet werden, dass der Geschwindigkeitsvektor bereits verschoben worden ist (vom Urpsrung in den Punkt (1,1)). Das muss auch mit den Komponenten geschehen. Die Komponente $w_x = 3$, welche vom Ursprung auf den Punkt (3,0) zeigt, muss also in den Punkt (1,1) verschoben werden. Demnach zeigt die Komponente $w_x$ nun auf den Punkt (4,1). Die Komponente $w_y = -2$, welche vom Urpsrung auf den Punkt (0,-2) zeigt, wird ebenfalls in den Punkt (1,1) verschoben. Sie zeigt nun auf den Punkt (1,-1). [Die Punkte werden einfach miteinander addiert]. Der oben berechnete Winkel wurde von dem Geschwindigkeitsvektor $\vec{w}$ zur Komponente $w_x$ berechnet. 

Das Minuszeichen vor dem Winkel resultiert daraus, dass der Winkel von der positiven $x$-Achse IM Uhrzeigersinn zum Geschwindigkeitsvektor gemessen wurde. Man gibt den Winkel dann aber innerhalb der Grafik als positiven Winkel an. Gibt man den Winkel von der positiven $x$-Achse zum Geschwindigkeitsvektor entgegen dem Uhrzeigersinn an (positiver Winkel), so wird gerechnet: 

360° - 33,7 = 326,3°.

Alternativ kann man auch den Winkel zur Komponente $w_y$ berechnen mit:

$\tan (\alpha) = \frac{w_x}{w_y}$

$\alpha = \tan^{-1} (\frac{w_x}{w_y}) = \tan^{-1} (\frac{3}{-2}) = -56,3°$.

oder durch

$\alpha = 90° - 33,7° = 56,3°$.

(e) Volumenstrom pro Breiteneinheit

Der Volumenstrom pro Breiteneinheit zwischen den zwei Stromlinien berechnet sich durch:

$\frac{\dot{V}_{12}}{b} = \Psi_2 - \Psi_1$

$\frac{\dot{V}_{12}}{b} = 3 - 0 = 3$.