Laminare Strömung (kreisförmiger Querschnitt)

Bei einer laminaren Strömung treten keine zusätzlichen Verluste auf, d.h. also, dass der gesamte Druckverlust (bzw. Höhenverlust, Energieverlust) aufgrund von Wandreibung entsteht. Die Rohrreibungszahl $\lambda$ kann demnach exakt bestimmt werden.

Gesetz von Hagen-Pousseuille

Der Druckverlust bei einer laminaren Strömung kennzeichnet sich durch

• Unabhängigkeit von der Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$,
• Proportionalität zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit,
• umgekehrte Proportionalität zum Rohrdurchmesser,
• Druckverlust bei dünnen Rohren größer als bei dicken Rohren.

Eine laminare Strömung liegt dann vor, wenn die berechnete Reynolds-Zahl $Re$ unter der kritischen Reynolds-Zahl $Re_{krit}$ liegt. Im Weiteren wird von der folgenden kritischen Reynolds-Zahl ausgegangen:

Beispiel: Laminare Strömung

Um den Druck $p_1$ zu bestimmen, muss die Bernoullische Gleichung von 1 nach 2 aufgestellt werden. Es ist unerheblich, welche der drei Bernoullischen Gleichungen dafür verwendet werden, wichtig ist nur, dass die Verluste mit dem richtigen Term eingehen. Der Übersicht halber werden im Folgenden die gesamten Verluste (Einzelverluste plus streckenabhängige Verluste) für die drei unterschiedlichen Bernoullischen Gleichungen aufgeführt:

Im Folgenden wird mit der Bernoullischen Höhengleichung von 1 nach 2 gerechnet (man kann auch die anderen Gleichungen verwenden):

 $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}} + \lambda \frac{L}{d} \frac{w_2^2}{2 \; g} $.

Die Verluste werden immer am Strömungsende (hier: 2) berücksichtigt und dann auch mit diesem Index versehen.

Als nächstes werden die Werte eingesetzt. Zunächst einmal gilt $w_1 \approx 0$, da $A_1 >> d$ und damit senkt sich der Wasserspiegel so langsam, dass man die Geschwindigkeit $w_1$ gleich null setzen kann.

Außerdem gilt für den Druck $p_2 = p_b + \rho \cdot g \cdot h_3$. Da der rechte Behälter offen ist, wirkt auf das Wasser der Umgebungsdruck $p_b$. Außerdem muss noch der hydrostatische Druck des Wassers $p(h) = \rho \; g \; h$ berücksichtigt werden, um den gesamten Druck zu bestimmen.

Es gilt außerdem $z_1 = h_1$ und $z_2 = h_2$. Einsetzen aller Werte ergibt:

 $\small{5 m  + \frac{p_1}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} =  8 m + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2 m}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} + (0,5 + 1,0 + 0,14 + 0,21) \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}} + \lambda \frac{20 m}{2,5 m} \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$.

Aufgelöst nach $p_1$ ergibt:

$p_1 = 3 m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + \frac{1}{2} \; w_2^2 \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + 101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m + 1,85 \cdot \frac{w_2^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}  + \lambda \frac{20m}{2,5m} \frac{w_2^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

Es müssen noch die Geschwindigkeit $w_2$ und die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmt werden.

Bestimmung der Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit kann mittels des Volumenstroms $\dot{V}$ bestimmt werden, denn es gilt:

$w \cdot A = \dot{V}$.

Umgestellt nach $w = w_2$ ergibt sich dann:

$w_2 = \frac{\dot{V}}{A}$.

Die Fläche des Rohrs (kreisförmig) wird berechnet mit:

$A = \pi \cdot r^2$  oder  $A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$.

Der Volumenstrom muss noch in die Einheit $\frac{m^3}{s}$ umgerechnet werden, wobei gilt $1h = 3.600s$:

$\frac{10}{3.600} \frac{m^3}{s}$.

Einsetzen der Werte ergibt:

$w_2 = \frac{\frac{10}{3.600} \frac{m^3}{s}}{\frac{\pi \cdot (2,5m)^2}{4}} = 0,00057 \frac{m}{s}$.

Als nächstes muss noch die Rohrreibungszahl $\lambda$ für die streckenabhängigen Verluste bestimmt werden.

Rohrreibungszahl bestimmen

Zunächst muss geprüft werden, ob es sich um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Bei der laminaren Strömung kann man die Formel $\lambda = \frac{64}{Re}$ verwenden. Bei einer turbulenten Strömung muss hingegen das Moody-Diagramm herangezogen werden.

$Re =  \frac{w_2 \cdot d}{\nu} = \frac{0,00057 \frac{m}{s} \cdot 2,5m}{1,0 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}} = 1.425 $

Die kritische Reynolds-Zahl wurde festgelegt auf $Re_{krit} = 2.300$. Die berechnete Reynolds-Zahl liegt unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl, weshalb eine laminare Strömung vorliegt. $\lambda$ kann also einfach berechnet werden:

$\lambda = \frac{64}{Re} = \frac{64}{1.425} = 0,045$.

Es kann nun der Druck $p_1$ berechnet werden.

Berechnung des Drucks

$p_1 = 3 m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + \frac{1}{2} \; (0,00057 \frac{m}{s})^2 \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + 101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m + 1,85 \cdot \frac{(0,00057 \frac{m}{s})^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}  + 0,045 \frac{20m}{2,5m} \frac{(0,00057 \frac{m}{s})^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

$p_1 = 150.048,53 Pa$.