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Technische Mechanik 1: Statik - Bestimmung von Momenten

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Technische Mechanik 1: Statik

Bestimmung von Momenten

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Inhaltsverzeichnis

Dieser Abschnitt soll verdeutlichen, wie man ein Moment bestimmt. Ein Moment wird berechnet durch Kraft (F) mal Abstand (l, alternativ: h) zum Bezugspunkt. Das bedeutet, um ein Moment zu bestimmen, benötigt man die ursprüngliche Lage der Kraft, den Betrag der Kraft und den Abstand zum Bezugspunkt. Die Bestimmung des Abstands $l$ soll Ziel dieses Abschnittes sein.

Bestimmung von Momenten
Bestimmung von Momenten

In der obigen Grafik ist ein Dreieck zu sehen, auf welches die Kräfte $F_1$ bis $F_4$ wirken. Die Winkel kann man sich aufgrund der Längen gut ableiten. Die untere Seite beträgt $2a$ und die Höhe des Dreiecks $a$. Durch Hinzufügen der Höhe $h = a$ in der Mitte des Dreiecks werden aus diesem zwei Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel (90°) und damit jeweils zwei 45° Winkeln (insgesamt 180°). Die Winkel betragen beide 45°, da die Höhe $a$ beträgt und die untere Seite ebenfalls $a$ beträgt.

Bestimmung von Momenten 2
Bestimmung von Momenten 2

Nachdem nun die Winkel hinzugefügt worden sind, kann die Momentenbestimmung erfolgen. In diesem Abschnitt werden Gleichgewichtsbedingungen (welche später folgen) außer Acht gelassen. Es soll nur gezeigt werden, wie man für jede Kraft separat das Moment für einen Bezugspunkt bestimmt. In diesem Beispiel ist der Bezugspunkt $A$ (links), für welchen die Momente der einzelnen Kräfte bestimmt werden sollen. Begonnen wird mit der Kraft $F_1$.

Bestimmung des Momentes für F1

Das Moment der Kraft $F_1$ für den Bezugspunkt $A$ lautet:

$M^{(A)}_{F_1} = F_1 \cdot l$.

Wie wird nun aber der Abstand $l$ zum Bezugspunkt für $F_1$ bestimmt? Dies erfolgt, indem $F_1$ solange parallel zu sich selbst verschoben wird, bis die Wirkungslinie von $F_1$ den Bezugspunkt $A$ schneidet. 

Bestimmung von Momenten 3

Es ist deutlich zu erkennen, dass $F_1$ mit dem Abstand $l$ parallel zu sich selbst verschoben werden muss, damit die Wirkungslinie (blau) den Punkt $A$ schneidet. Es gilt nun den Abstand $l$ zu berechnen. Dazu wird das linke Teildreieck mit der Höhe $a$ und der Breite $a$ betrachtet. Die Seite $l$ kann dann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$l = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \; a$.

Als nächstes muss noch bestimmt werden, in welche Richtung das Dreieck drehen würde, wenn die Kraft $F_1$ wirkt. Dazu muss die ursprüngliche Lage von $F_1$ und der Bezugspunkt $A$ betrachtet werden. Wenn $F_1$ wirkt, dann dreht sich das Dreieck im Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt $A$. Denn $F_1$ zieht das Dreieck nach unten und dann um den Bezugspunkt herum wieder nach oben usw.

Merke

Es wird bestimmt, dass bei Drehung im Uhrzeigersinn das Moment negativ wird und bei Drehung entgegen des Uhrzeigersinns positiv.

Methode

$M^{(A)}_{F_1} = -F_1 \cdot \sqrt{2}a$.

Alternative Berechnungsmethode: Kräftezerlegung

Alternativ kann man auch $F_1$ in eine horizontale Komponente $R_x$ und eine vertikale Komponente $R_y$ zerlegen und dann für die beiden Resultierenden das Moment bestimmen und miteinander addieren. Dazu stellt man sich $F_1$ in einem Koordinatensystem vor. Die Kraft $F_1$ würde im 4. Quadraten liegen. Die Berechnung erfolgt:

$R_x = F_1 \cos (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_x$ zeigt zur positiven x-Achse)

$R_y = F_1 \sin (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_y$ zeigt zur negativen y-Achse)


Die Momentenberechnung erfolgt nun so, dass man ausgehend von der Lage von $F_1$ die Resultierende $R_x$ solange parallel zu sich selbst nach unten verschiebt bis diese den Bezugspunkt schneidet. Der Hebelarm ist also die Höhe $a$ des Dreiecks. Die Drehrichtung ist mit dem Uhrzeigersinn, also negativ:

$M^{(A)}_{R_x} = R_x \cdot a = -F_1 \cdot 0,71 \;a$

Für $R_y$ gilt dieses solange parallel zu sich selbst nach links zu verschieben, bis die Wirkungslinie den Bezugspunkt schneidet. Der Hebelarm ist hier $a$. Die Drehrichtung ist ebenfalls mit dem Uhrzeigersinn, also negativ:

$M^{(A)}_{R_y} = R_y \cdot a = -F_1 \cdot 0,71 \; a$


Das gesamte Moment ist also:

$M^{(A)}_{F_1} = -F_1 \cdot 0,71 \;a + -F_1 \cdot 0,71 \; a =  -F_1 \cdot 2 \cdot 0,71 \cdot a$.

Und das ist genau $M^{(A)}_{F_1} = -F_1 \cdot \sqrt{2}a$.

Bestimmung des Momentes für F2

Wie oben gezeigt, verfährt man auch mit den anderen Kräften. $F_2$ wird nun parallel zu sich selbst solange nach links verschoben bis die Wirkungslinie (blau) von $F_2$ den Bezugspunkt $A$ schneidet:

Bestimmung von Momenten 4

In diesem Fall ist die Entfernung ohne große Berechnungen abzulesen. $F_2$ muss eine Entfernung von $a$ zurücklegen, damit die Wirkungslinie den Bezugspunkt schneidet. Die Drehung erfolgt im Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt:

Methode

$M^{(A)}_{F_2} = -F_2 \cdot a$.

Bestimmung von F3

Die Wirkungslinie der Kraft $F_3$ schneidet den Bezugspunkt $A$ bereits. Das bedeutet, dass hier kein Hebelarm und damit auch kein Moment existiert (in Bezug auf den Punkt $A$). 

Bestimmung von Momenten 5

Methode

$M^{(A)}_{F_3} = 0$.

Bestimmung von F4

In diesem Fall tritt ebenfalls kein Moment auf, da die Wirkungslinie der Kraft $F_4$ bereits den Bezugspunkt $A$ schneidet und damit kein Hebelarm existiert. 

Bestimmung von Momenten 4

Methode

$M^{(A)}_{F_4} = 0$.

Merke

Ein Moment wird immer durch Kraft mal Abstand zum Bezugspunkt berechnet. Der Abstand wird bestimmt, indem die Kraft zu sich selbst solange parallel verschoben wird, bis die Wirkungslinie der Kraft den Bezugspunkt schneidet. Diesen Abstand $l$ gilt es zu berechnen. Häufig müssen hierbei Dreiecksberechnungen angewandt werden. Zusätzlich ist die Drehrichtung zu beachten.


Folgendes Vorgehen erleichtert die Berechnung von Momenten:

  1.  Man bestimmt zunächst, ob die Wirkungslinie der Kraft den Bezugspunkt schneidet:

    Ja $\rightarrow$ Es existiert kein Moment [man geht zur nächsten Kraft über und beginnt bei 1.].

    Nein $\rightarrow$ es existiert ein Moment [man geht zu 2. über].

  2.  Die Kraft befindet sich im 90° zum Bezugspunkt:

    Ja $\rightarrow$ Die Kraft wird solange zu sich selbst parallel verschoben, bis diese den Bezugspunkt schneidet. Dieser Abstand wird dann mit der Kraft multipliziert [man geht zur nächsten Kraft über und beginnt bei 1.].

    Nein $\rightarrow$ Befindet sich die Kraft nicht im 90°Winkel zum Bezugspunkt, so kann der Hebelarm mittels Winkelberechnungen bestimmt werden. Wichtig ist es also, die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens zu kennen, um die Seiten innerhalb eines Dreiecks zu bestimmen und damit den Hebelarm zu berechnen. Alternativ kann man die Kraft auch in eine horizontale und eine vertikale Komponente zerlegen und für diese jeweils das Moment bestimmen. Am Ende müssen die beiden Momente dann miteinander addiert werden.

Video: Bestimmung von Momenten