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Strömungslehre - Stromfaden und Stromröhre

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Strömungslehre

Stromfaden und Stromröhre

In diesem Abschnitt werden die Begriffe des Stromfadens und der Stromröhre ausführlich behandelt. Diese Begriffe sind notwendig für die spätere Aufstellung der Kontinuitätsgleichung (siehe Kapitel: Hydrodynamik).

Um strömungsmechanische Probleme lösen zu können, verwendet man verschiedene Vereinfachungen, welche das dreidimensionale Problem in ein zweidimensionales Problem überführen. Diese zweidimensionale Betrachtung gibt die physikalischen Vorgänge zwar nicht korrekt wieder, führt aber häufig zu näherungsweise brauchbaren Resultaten. 

Für Strömungen durch Rohre und Gerinnen z.B., resultiert bereits für eine eindimensionale Betrachtung des Problems eine gute Lösung. Bei der eindimensionalen Betrachtung durch Rohre und Gerinnen verläuft die Strömung in eine ausgezeichnete Richtung und die Bewegungen senkrecht zur Achse werden vernachlässigt. 

Netz von Strömungsrohren
Netz von Strömungsrohren

Es wird im Weiteren die eindimensionale Eulersche Betrachtungsweise behandelt. Die folgenden kinematischen Begriffe sind von besonderer Relevanz für die Lösung strömungsmechanischer Probleme:

Stromröhre

Im vorangegangenen Abschnitt ist die Stromlinie eingeführt worden. Hierbei handelt es sich um eine Kurve, deren Tangente in jedem Kurvenpunkt mit der Richtung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit übereinstimmt. 

Eine Stromlinienfläche ist die Summe aller Stromlinien, welche durch eine ortsfeste Linie gehen.

Ist diese Linie geschlossen, so ergibt sich die Stromröhre. Die äußeren Stromlinien, welche durch die ortsfeste geschlossene Linie verlaufen, bilden dabei die Mantelfläche der Stromröhre. Ein Massendurchfluss durch diese Mantelfläche der Stromröhre ist nicht möglich, da sich Stromlinien nicht schneiden. Die Stromröhre selbst ist dabei eine gedachte, also imaginäre Röhre, deren Querschnittsfläche $A$ festgelegt wird. 

Stromröhre
Stromröhre aus Stromlinien

Wird nun eine Stromröhre innerhalb einer instationären Strömung gebildet, so handelt es sich nach der Eulerschen Betrachtungsweise um eine Momentaufnahme. Im Laufe der Zeit wird die Stromröhre ihre Lage und Form ändern. Wird hingegen eine stationäre Strömung betrachtet, so ändert sich die Lage und Form der Stromröhre mit der Zeit nicht.

Innerhalb der gesamten Stromröhre sind die strömungsmechanischen Größen (Dichte, Druck, Temperatur) und die Geschwindigkeiten sowohl längs als auch normal (senkrecht) zur Strömungsrichtung veränderlich. Werden diese Größe über die Querschnittsfläche $A$ aufgetragen, so ergibt sich ein Profil für diese Größen. Für die Geschwindigkeit ergibt sich somit über die Querschnittsfläche $A$ ein Geschwindigkeitsprofil, welches die Geschwindigkeitsverteilung senkrecht zur Strömungsrichtung darstellt.

Aus diesen Profilen werden dann Mittelwerte berechnet, die dann Grundlagen weiterer Berechnungen sind.

Merke

Die Summe aller Stromlinien durch eine ortsfeste geschlossene Linie ergibt die Mantelfläche einer Stromröhre mit Querschnittsfläche $A$.

Stromfaden

Eine Stromröhre wird also gebildet, wenn Stromlinien durch eine endliche Fläche $A$ verlaufen. Wird hingegen ein infinitesimal kleines Element $dA$ der Querschnittsfläche $A$ betrachtet, so entsteht ein Stromfaden. Der Stromfaden bildet also nur einen sehr kleinen Teil der Stromröhre ab. Es werden also nicht alle Stromlinien betrachtet, sondern nur ein sehr geringer Teil der Stromlinien. Die strömungsmechanischen Größen sind für den Stromfaden nun nur noch längs der Strömungsrichtung veränderlich, aber nicht mehr senkrecht zur Strömungsrichtung. Das bedeutet bei Betrachtung des infinitesimalen Elements $dA$ ergibt sich keine Geschwindigkeitsverteilung mehr, sondern nur noch eine einzige Geschwindigkeit des Stromfadens. Diese Betrachtungsweise nennt sich Stromfadentheorie, in welcher die Probleme durch eindimensionale Gleichungen längs einer Raumkurve beschrieben werden. 

Durch die Summierung aller Stromfäden gelangt man zur Stromröhrentheorie. Während innerhalb der Stromfadentheorie die grundlegenden Gesetze abgeleitet werden, wird die Stromröhrentheorie dazu verwendet diese Gesetze dann auf die Rohr- und Gerinnenhydraulik zu übertragen. 

Über den Querschnitt $A$ des Stromfadens ist die Dichte, der Druck, die Geschwindigkeit und die Temperatur aller Stromlinien konstant. Hingegen können diese sich längs des Stromfadens ändern. Wird nun also ein anderer Querschnitt $B$ gewählt, so sind die Größen über diesen Querschnitt $B$ zwar konstant, müssen aber nicht identisch zu den Größen des Querschnitts $A$ sein.