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Technische Mechanik 3: Dynamik - Kinematik des starren Körpers

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Kinematik des starren Körpers

In den vorherigen Abschnitten ist die Kinematik und Kinetik eines Massenpunktes und eines Massenpunktsystems behandelt worden. In diesem Kapitel wird die Kinematik des starren Körpers behandelt. Liegt ein System von unendlichen vielen Massenpunkten vor, deren Abstände sich nicht ändern, so ist die Rede von einem starren Körper. Ein starren Körper besitzt im Raum 6 Freiheitsgrade, davon drei Translationen und drei Rotationen. Als Vergleich besitzt ein Massenpunkt nur 3 Freiheitsgrade in der Ebene. Der Grund dafür liegt darin, dass ein Massenpunkt (Reduziert auf seinen Schwerpunkt) keine Rotationen aufweist, sondern lediglich Translationen.

Vergleich der Freiheitsgrade eines Massenpunktes und eines Massenpunktsystems mit dem eines starren Körpers:

Objekte   Freiheitsgrade
Massenpunkt im Raum f = 3
in der Ebene f = 2

Massenpunktsystem

mit $n$ Massenpunkte

im Raum f = 3n - r
in der Ebene f = 2n - r
Starrer Körper im Raum f = 6
in der Ebene f = 3

In der obigen Tabelle sind die Freiheitsgrade zusammengefasst. Ein Massenpunkt im dreidimensionalen Raum hat $f = 3$ Freiheitsgrade (Translation in drei voneinander unabhängigen Richtungen $x,y,z$). Für einen Massenpunkt, der sich nur in der $x,y$-Ebene bewegen kann, verbleiben $f = 2$ Freiheitsgrade. Der Massenpunkt hat nur $f = 1$ Freiheitsgrad, wenn die Bewegung z.B. auf die $x$-Achse eingeschränkt ist.

Ein freies System aus $n$ Massenpunkten (Massenpunktsystem) im dreidimensionalen Raum hat $3n$ Freiheitsgrade. Jeder Massenpunkt dieses Systems besitzt drei Freiheitsgrade (Translation in drei voneinander unabhängigen Richtungen $x,y,z$). Bei z.B. drei Massenpunkte besitzt das System im Raum $f = 3 \cdot 3 = 9$ Freiheitsgrade. Besitzen die Massenpunkte untereinander kinematische Bindungen, d.h. sind die Massenpunkte in ihrer Bewegung voneinander abhängig, so verringern sich die Freiheitsgrade um die Anzahl der kinematischen Bindungen $r$. Sind z.B. drei Massenpunkte miteinander durch eine Stange verbunden, so existiert eine kinematische Bindung $r = 1$. Das Massenpunktsystem besitzt dann $f = 3 \cdot 3 - r = 8$ Freiheitsgrade. In der $x,y$-Ebene besitzt das Massenpunktsystem $f = 2n - r$ Freiheitsgrade, also je Massenpunkt 2 Freiheitsgrade abzüglich der kinematischen Bindungen $r$ der Massenpunkte untereinander.

Ein starrer Körper besitzt sechs Freiheitsgrade: drei Translationsfreiheitsgrade in $x,y,z$-Richtung und drei Rotationsfreiheitsgrade (Drehnung um $x,y,z$-Achsen). Bei ebenen Problemen reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf zwei der Translation und einen der Rotation. Wird ein starrer Körper an einem Punkt festgehalten (z.B. Kreisel), so verbleiben drei Freiheitsgrade der Rotation. Ein starrer Körper, der sich nur um eine feste Achse drehen kann, ist ein physisches Pendel mit nur einem Rotationsfreiheitsgrad.