Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)

In diesem Abschnitt wird die allgemeine Bewegung eines starren Körpers betrachtet. Diese setzt sich zusammen aus der Translation und der Rotation. Im Folgenden soll zunächst auf die ebene Bewegung eines Körpers eingegangen werden. Hierbei wird die $x,y$-Ebene betrachtet. Es müssen drei Koordinaten festgelegt werden: Die Bewegung des körperfesten Punktes innerhalb der betrachteten Ebene erfordert die Einführung von zwei Koordinaten $x,y$ und zusätzlich die Drehbegewung um die $z$-Achse. Es handelt sich hierbei also um drei Freiheitsgrade. Die Drehbewegung um die $x$- oder $y$-Achse ist nicht möglich, da der Körper an die Ebene gebunden ist. Bei einer Drehbewegung um die $x$- oder $y$-Achse müsste der Körper sich aber auch in $z$-Richtung bewegen.

Der Orstvektor $r_A$ gibt die Lage des körperfesten Punktes $A$ und der Ortsvektor $r_B$ die Lage des körperfesten Punktes $B$ an. Der Vektor $r_{B/A}$ gibt die Lage des Punktes $B$ bezüglich $A$ an. Es gilt der folgende Zusammenhang:

$r_B = r_A + r_{B/A}$

Es werden als nächstes Einheitsvektoren $e_r$ (von $A$ nach $B$ gerichtet) und $e_{\varphi}$ (senkrecht zu $r_{B/A}$) ein, die sich mit dem Körper mitbewegen, eingeführt:

Mit dem Abstand $r$ zwischen $A$ und $B$ kann man dann auch schreiben:

$r_{B/A} = r \; e_r$

Es folgt demnach für die obige Gleichung:

$r_B = r_A + r \; e_r$

Es gilt, dass $r = const$ ist. Die Punkte behalten also ihren Abstand bei. Demnach gilt für die Ableitung:

$\dot{r}_B = \dot{r}_A + r \; \dot{e}_r$

Die Ableitung von $\dot{e}_r$ ergibt sich durch die Änderung von $r_{B/A}$ nach der Zeit  $dt$. Dabei Ändert $r_{B/A}$ seine Richtung um den Winkel $d\varphi$ (siehe obige Grafik). Auch $e_r$ und $e_{\varphi}$ ändern dabei die Richtung um den Winkel $d\varphi$. Es ergibt sich demnach:

$\dot{e}_r = \dot{\varphi} \; e_{\varphi}$

$\dot{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \; e_r$

Mit $\omega = \dot{\varphi}$ ergibt sich dann die Geschwindigkeit von $B$ zu:

Die Beschleunigung erhält man dann aus:

$\ddot{r}_B = \ddot{r}_A +  r \; \dot{\omega} \; e_{\varphi} +  r \; \omega \; \dot{e}_{\varphi}$

Mit $\dot{e}_{\varphi} =  -\dot{\varphi} \; e_r = -\omega \; e_r$ ergibt sich dann:

Zusammenfassung

Es gilt also für Lage des Punktes $B$:

Für die Geschwindigkeit des Punktes $B$ gilt:

Für die Beschleunigung des Punktes $B$ gilt:

Die obigen angegeben Gleichungen bestehen zum einen aus dem Teil, welcher die Translation des Körpers ausdrückt ($r_A, v_A, a_A$) und zum anderen aus dem Teil, welcher die Rotation des Körpers um den Punkt $A$ beschreiben (Kreisbewegung von $B$). Die Vektoren $v_{B/A}$ und $a^{\varphi}_{B/A}$ stehen senkrecht auf $r_{B/A}$; hingegen zeigt $a^r_{B/A}$ von $B$ nach $A$.

Kartesische Koordinaten

Es ist häufig sinnvoll, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in kartesischen Koordinaten anzugeben. Dabei wird die folgende Grafik betrachtet:

Die Bestimmung des Ortes mittels kartesischen Koordinaten erfolgt durch:

$x_A = x_B + r \cos (\varphi)$  bzw.  $x_B = x_A - r \cos (\varphi)$

$y_A = y_B - r \sin (\varphi)$  bzw. $y_B = y_A + r \sin (\varphi)$

Um die Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten auszudrücken, wird der Ort nach der Zeit $t$ abgleitet: $v_x = \frac{dx}{dt}$ bzw. $v_y = \frac{dy}{dt}$. Anwendung der Kettenregel erforderlich mit $\varphi = \varphi(t)$ und $r = const$:

$v_{Ax}= v_{Bx} + \dot{r} \cos (\varphi) + r -\sin (\varphi) \cdot \dot{\varphi}$

Mit $r = const$ ergibt sich $\dot{r} = 0$. Das $\varphi$ ist abhängig von $t$ und nach $t$ wird abgleitet, deswegen muss auch $\varphi$ bei der Ableitung mit berücksichtigt werden und wird aus der Klammer gezogen. Es gilt $\dot{\varphi} = \omega$ (Winkelgeschwindigkeit):

$v_{Ax} = v_{Bx} - r  \cdot \sin (\varphi) \cdot \omega$

Für $y_A$ gilt das gleiche Vorgehen. Insgesamt ergibt sich für die Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten bei Betrachtung der obigen Grafik:

$v_{Ax} = v_{Bx} - r  \cdot \sin (\varphi) \cdot \omega$   bzw.  $v_{Bx} = v_{Ax} + r  \cdot \sin (\varphi) \cdot \omega$  

$v_{Ay} = v_{By} - r  \cdot \cos (\varphi) \cdot \omega$  bzw.  $v_{By} = v_{Ay} + r  \cdot \cos (\varphi) \cdot \omega$<

Die Beschleunigung erhält man durch Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit $t$: $a_x = \frac{v_x}{dt}$ und $a_y = \frac{v_y}{dt}$. Es muss wieder berücksichtigt werden, dass $r = const$ und $\varphi = \varphi(t)$ und damit auch $\omega = \omega(t)$:

$a_{Ax} = a_{Bx} - \dot{r}  \cdot \sin (\varphi) \cdot \omega - r  \cdot \cos (\varphi) \cdot \dot{\varphi} \omega - r \sin(\varphi) \dot{\omega}$

Mit $\dot{r} = 0$ und $\dot{\varphi} = \omega$ ergibt sich dann:

$a_{Ax} = a_{Bx} - r  \cdot \cos (\varphi) \cdot \omega^2 - r \sin(\varphi) \dot{\omega}$

Die Vorgehensweise für die anderen Gleichungen ist äquivalent. Es ergibt sich für die Beschleunigung in kartesischen Koordinaten:

$a_{Ax} = a_{Bx} - r  \cdot \cos (\varphi) \cdot \omega^2 - r \sin(\varphi) \dot{\omega}$

$a_{Ay} = a_{By} + r  \cdot \sin (\varphi) \cdot \omega^2 - r \cdot \cos (\varphi) \cdot \dot{\omega}$

Insgesamt ergeben sich zur Bestimmung des Ortes, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung für den Punkt $A$ die folgenden Gleichungen:

Zur Bestimmung des Ortes, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung für den Punkt $B$ werden die obigen Gleichungen nach $B$ aufgelöst.

Beispiel: Ebene Bewegung starrer Körper

Zur Lösung der Aufgabe, wird zunächst ein Koordinatensystem gewählt, welches mit dem Ursprung mit $A$ zusammenfällt:

Es wird nun der Ort von $C$ und $B$ mittels kartesischer Koordinaten ausgedrückt. Dabei wird sich an der Grafik 3 des obigen Textest orientiert und der dort aufgestellten kartesischen Koordinaten. Es gilt:

$x_C = x_B + l \cos (\beta)$ mit $x_B = r \cos(\alpha)$

$x_C = r \cos (\alpha) + l \cos (\beta)$

$y_C =  y_B - l \sin (\beta)$  mit $y_B = r \sin (\alpha)$

Dabei liegt der Kolben auf der $x$-Achse und damit ist $y_C = 0$:

$y_C = r \sin (\alpha) - l \sin (\beta) = 0$

Es wurde der Ort des Punktes $C$ in kartesischen Koordinaten ausgedrückt. Der Winkel $\beta$ ist unbekannt und kann mittels der Gleichung $y_C = 0$ bestimmt werden:

$r \sin (\alpha) - l \sin (\beta) = 0$

$r \sin (\alpha) = l \sin (\beta) $

$\sin (\beta) = \frac{r}{l} \sin (\alpha)$

$\beta = \sin^{-1} ( \frac{r}{l} \sin (\alpha))$

Einsetzen der bekannten Werte:

$\beta = \sin^{-1} ( \frac{0,4 m}{0,6 m} \sin (45°))$

Winkelgeschwindigkeit

Es soll als nächstes die Winkelgeschwindigkeit $\omega_{BC}$ des Pleuels $BC$ bestimmt werden. Diese erreicht man, indem man die Ortskoordinaten nach der Zeit $t$ ableitet. Hierzu bedient man sich der Ortskoordinate $y_C$, da diese gleich null ist (damit auch die Ableitung) und so nach der Winkelgeschwindigkeit aufgelöst werden kann. Es gilt $r = const$ und $\alpha = \alpha(t)$ und $\beta = \beta(t)$:

$\dot{y_C} = v_{Cy} = \dot{r} \sin (\alpha)  +  r \cos (\alpha) \cdot \dot{\alpha} - \dot{l} \sin (\beta) - l \cos (\beta) \cdot \dot{\beta} = 0$

Mit $r = const$ und $l = const$ und damit werden die Ableitungen gleich Null, ergibt sich:

$v_{Cy} =  r \cos (\alpha) \cdot \dot{\alpha} - l \cos (\beta) \cdot \dot{\beta} = 0$

Es gilt weiterhin $dot{\alpha} = \omega_{Ab} $:

Auflösen nach $\omega_{BC} = \dot{\beta}$

$\omega_{BC} = \frac{r \cos (\alpha) \cdot \omega_{AB}}{l \cos (\beta)}$ 

Einsetzen der Werte:

$\omega_{BC} = \frac{0,4 m \cos (45°) \cdot 5,3 \frac{rad}{s}}{0,6 m \cos (28,13°)}$ 

Winkelbeschleunigung

Nachem nun die Winkelgeschwindigkeit bestimmt worden ist, wird als nächstes die Winkelbeschleunigung bestimmt werden. Diese kann wieder aus der Ortskoordinate $y_C = 0$ bestimmt werden, indem diese zweimal nach der Zeit $t$ abgleitet wird bzw. indem $v_{By}$ einmal nach der Zeit $t$ abgeleitet wird. Dabei muss wieder beachtet werden, dass $r = l = const$ und das die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sowie die Winkelgeschwindigkeit $\omega_{BC}$ von der Zeit abhängen und demnach ebenfalls bei der Ableitung berücksichtigt werden müssen. Es wird die folgende Gleichung abgeleitet:

$\dot{y_C} = v_{Cy} = r \cos (\alpha) \cdot \omega_{AB} - l \cos (\beta) \cdot \dot{\beta} = 0$

Ableitung nach der Zeit $t$ führt auf die Beschleunigung:

$\ddot{y_C} = a_{Cy} = \dot{r} \cos (\alpha)  \cdot \omega_{AB} - r \sin (\alpha) \cdot \dot{\alpha}  \cdot \omega_{AB} +  r \cos (\alpha)  \cdot \dot{\omega_{AB}} -  \dot{l} \cos (\beta) \cdot \dot{\beta} +  l \sin (\beta) \cdot \dot{beta}\cdot \dot{\beta} - l \cos (\beta) \cdot \ddot{\beta} = 0$

Mit $r = l = const$ und damit $\dot{r} = \dot{l}= 0$ und $\dot{\alpha} = \omega_{AB}$ sowie $\dot{\beta} = \omega_{BC}$ ergibt sich:

$\ddot{y_C} = a_{Cy} = - r \sin (\alpha) \cdot \omega_{AB}^2 +  r \cos (\alpha) \cdot \dot{\omega_{AB}} +  l \sin (\beta) \cdot \omega_{BC}^2 - l \cos (\beta) \cdot \ddot{\beta} = 0$

Es gilt außerdem, dass die Winkelgeschwindigkei $\omega_{AB} = const$ ist (laut Aufgabenstellung) und damit ist die Ableitung gleich null $\dot{\omega_{AB}} = 0$:

$\ddot{y_C} = a_{Cy} = - r \sin (\alpha) \cdot \omega_{AB}^2 +  l \sin (\beta) \cdot \omega_{BC}^2 - l \cos (\beta) \cdot \ddot{\beta} = 0$

Auflösen nach der Winkelbeschleunigung $\dot{\omega}_{BC} = \ddot{\beta}$:

$\ddot{\beta} = \dot{\omega_{BC}} = \frac{- r \sin (\alpha) \cdot \omega_{AB}^2 +  l \sin (\beta) \cdot \omega_{BC}^2}{l \cos (\beta)}$ 

Einsetzen der Werte:

$\ddot{\beta} = \dot{\omega_{BC}} = \frac{- 0,4 m \sin (45°) \cdot (5,3 \frac{rad}{s})^2 +  0,6 m \sin (28,13°) \cdot (2,83 \frac{rad}{s})^2}{0,6 m \cos (28,13°)}$ 

Geschwindigkeit des Kolbens C

Als nächstes soll die Geschwindigkeit des Kolbens $C$ bestimmt werden. Hierzu muss die Ortskoordinate $x_C$ herangezogen werden, weil der Kolben sich nur in Richtung der $x$-Richtung bewegt.

$x_C = r \cos (\alpha) + l \cos (\beta)$

Die erste Ableitung der Gleichung nach der Zeit ergibt dann die Geschwindigkeit des Kolbens $C$. Dabei muss hier wieder beachtet werden, dass $\alpha$ und $\beta$ von der Zeit $t$ abhängen und $r = l = const$ sind. Das Ergebnis wird sofort geschrieben zu:

$\dot{x_C} = v_{Cx} = -r \sin (\alpha) \cdot \dot{\alpha} - l \sin (\beta) \cdot \dot{\beta}$

Einsetzen der Werte ergibt, mit $\dot{\alpha} = \omega_{AB}$ und $\dot{\beta} = \omega_{BC}$:

$\dot{x_C} = v_{Cx} = -0,4 m \sin (45°) \cdot 5,3 \frac{rad}{s} - 0,6m \sin (28,13°) \cdot 2,83 \frac{rad}{s}$

Was bedeutet nun das negative Vorzeichen vor der Geschwindigkeit? Die Bewegung erfolgt in negativer $x$-Richtung, also von rechts nach links. Grund dafür ist, dass die Winkelgeschwindigkeit $\omega_{AB}$ im Punkt $A$ positiv also gegen den Uhrzeigersinn angenommen wurde. Die Kurbel $AB$ bewegt sich also gerade zu dem betrachteten Zeitpunkt nach links. Das bedeutet, dass sich der Pleuel ebenfalls nach links bewegt und damit wird der Kolben ebenfalls nach links gezogen. Die Geschwindigkeit ist also negativ aufgrund der Bewegung in negativer $x$-Richtung.

Beschleunigung des Kolbens C

Die Beschleunigung des Kolbens erhält man durch die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit $t$. Es git wieder $r = l = \omega_{AB} = const$ und damit sind diese Ableitungen gleich Null. Es gilt außerdem wieder, dass die Winkel abhängig von der Zeit $t$ sind und ebenfalls die Winkelgeschwindigkeit $\omega_{BC}$:

$\dot{v_{Cx}}= a_{Cx} = -r \cos (\alpha) \cdot \dot{\alpha}^2 - l \cos(\beta) \cdot \dot{\beta}^2 - l \sin (\beta) \cdot \ddot{\beta}$

$\dot{v_{Cx}}= a_{Cx} = -r \cos (\alpha) \cdot \omega_{AB}^2 - l \cos(\beta) \cdot \omega_{BC}^2 - l \sin (\beta) \cdot \dot{\omega_{BC}}$

Einsetzen der Werte:

$ a_{Cx} = -0,4 m \cos (45°) \cdot (5,3 \frac{rad}{s})^2 - 0,6 m \cos(28,13°) \cdot (2,83 \frac{rad}{s})^2 - 0,6 m \sin (28,13°) \cdot  -10,73 \frac{rad}{s^2}$