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Technische Mechanik 3: Dynamik - Bahnbeschleunigung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Bahnbeschleunigung

Bildet man aus dem Beschleunigungsvektor den Betrag, so erhält man den Betrag der Bahnbeschleunigung. Hierbei handelt es sich um einen Skalar:

Methode

Betrag der Bahnbeschleunigung: $|a| = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$     

Bahnbeschleunigung

Die Bahnbeschleunigung lässt sich bestimmen durch die 1. Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ oder durch die 2. Ableitung der Bogenlänge $s$ nach der Zeit $t$:

Methode

Bahnbeschleunigung: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt}$                 

Die Beschleunigung wird z.B. in den Einheiten $\frac{m}{s^2}$ oder $\frac{cm}{s^2}$ angegeben.

Merke

Die Bahnbeschleunigung $a$ ist positiv, wenn $\triangle v > 0$ (Geschwindigkeit wächst mit der Zeit) und negativ, wenn $\triangle v < 0$ (Geschwindigkeit wird mit der Zeit langsamer). Letzteres nennt sich auch verzögerte Bewegung, d.h. der Betrag der Geschwindigkeit $|v|$ nimmt mit der Zeit ab.
Normal- und Tangentialbeschleunigung

Die Bahnbeschleunigung $a$ lässt sich in eine Normalbeschleunigung und eine Tangentialbeschleunigung aufteilen:

Methode

$a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2}$

Die betrachtete Bahnkurve kann im Punkt $P$ lokal durch einen Kreis (Krümmungskreis) angenähert werden. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Krümmungsmittelpunkt
Die Tangentialbeschleunigung liegt (wie der Name bereits sagt) tangential zur Bahnkurve, die Normalbeschleunigung zeigt auf den lokalen Krümmungsmittelpunkt $M$ der Bahnkurve. 

Normalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung
Normalbeschleunigung

Die Normalbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

 Normalbeschleunigung: $a_n = \frac{v^2}{\rho}$  

mit

$v$  Geschwindigkeit

$\rho$  Krümmungsradius (Abstand vom betrachteten Punkt zum Krümmungsmittelpunkt)

Die Normalbeschleunigung bezeichnet die Richtungsänderung eines Massenpunktes pro Zeit.

Tangentialbeschleunigung

Die Tangentialbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

Tangentialbeschleunigung: $a_t = \frac{dv}{dt}$  

Die Tangentialbeschleunigung bezeichnet die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit, die ein Massepunkt auf einer gekrümmten Bahn tangential zu dieser erfährt. 

Merke

Ist die Tangentialbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei konstant. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt.

Mittlere Bahnbeschleunigung

Die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen zwei festgelegten Punkten bestimmt sich aus dem Quotienten zwischen der Geschwindigkeitsdifferenz $\triangle v$ und der Zeitdifferenz $\triangle t$ zwischen diesen Punkten:

Methode

Mittlere Bahnbeschleunigung: $a_m = \frac{|\triangle v|}{\triangle t}$        

Die Geschwindigkeitsdifferenz $\triangle v$ zwischen zwei festgelegten Punkten A und B lässt sich berechnen, indem der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v_A}$ vom Geschwindigkeitsvektor $\vec{v_B}$ subtrahiert wird. Es wird dann der Betrag der Geschwindigkeitsänderung gebildet. Für $\triangle t$ wird dann die Zeitdifferenz zwischen diesen beiden Punkten angegeben.