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Technische Mechanik 3: Dynamik - Bahnbeschleunigung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Bahnbeschleunigung

Bildet man aus dem Beschleunigungsvektor den Betrag, so erhält man den Betrag der Tangentialbeschleunigung. Hierbei handelt es sich um einen Skalar:

Methode

Betrag der Bahnbeschleunigung: $|a_t| = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$     

Tangentialbeschleunigung

Die Tangentialbeschleunigung (auch Bahnbeschleunigung) lässt sich bestimmen durch die 1. Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ oder durch die 2. Ableitung der Bogenlänge $s$ nach der Zeit $t$:

Methode

Tangentialbeschleunigung $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt}$                 

Die Beschleunigung wird z.B. in den Einheiten $\frac{m}{s^2}$ oder $\frac{cm}{s^2}$ angegeben.

Merke

Die Bahnbeschleunigung $a$ ist positiv, wenn $\triangle v > 0$ (Geschwindigkeit wächst mit der Zeit) und negativ, wenn $\triangle v < 0$ (Geschwindigkeit wird mit der Zeit langsamer). Letzteres nennt sich auch verzögerte Bewegung, d.h. der Betrag der Geschwindigkeit $|v|$ nimmt mit der Zeit ab.

Normalbeschleunigung

Neben der Tangentialbeschleunigung $a_t$, welche die Änderung der Schnelligkeit eines Massenpunktes angibt und durch die Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ nach der Zeit $t$ berechnet wird, existiert noch die Normalbeschleunigung $a_n$ (auch: Radialbeschleunigung $a_r$). 

Methode

$a_n = a_r = \frac{v^2}{\rho}$  

mit

$v$  Geschwindigkeit

$\rho$  Krümmungsradius (Abstand vom betrachteten Punkt zum Krümmungsmittelpunkt)

Die betrachtete Bahnkurve kann im Punkt $P$ lokal durch einen Kreis (Krümmungskreis) angenähert werden. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Krümmungsmittelpunkt. Die Bahnbeschleunigung $a$ (auch: Tangentialbeschleunigung $a_t$) liegt tangential zur Bahnkurve, die Normalbeschleunigung $a_n$ zeigt auf den lokalen Krümmungsmittelpunkt $M$ der Bahnkurve. 

Normalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung

Die Bahnbeschleunigung $a$ bzw. Tangentialbeschleunigung $a_t$ bezeichnet die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit, die ein Massepunkt auf einer gekrümmten Bahn tangential zu dieser erfährt. 

Die Normalbeschleunigung $a_n$ bzw. Radialbeschleunigung bezeichnet die Richtungsänderung des Massenpunktes. Bei Kurvenfahrten, Kreisen etc ist also immer eine Normalbeschleunigung gegeben, weil sich die Richtung des Massenpunktes ständig ändert. Dabei muss sich nicht unbedingt die Geschwindigkeit des Massenpunktes ändern und damit kann die Tangentialbeschleunigung Null sein. 

Betrachten wir ein Auto, welches auf einer geradlinigen Strecke fährt. Seine Richtung ändert sich nicht, die Normalbeschleunigung $a_n$ ist also gleich Null. Eine Tangentialbeschleunigung existiert dann, wenn das Auto seine Geschwindigkeit ändert. Ist die Geschwindigkeit hingegen konstant, so ist auch die Tangentialbeschleunigung gleich Null.

Merke

Ist die Bahnbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit $|\vec{v}| = v$ bleibt dabei konstant. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt.

Mittlere Bahnbeschleunigung

Die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen zwei festgelegten Punkten bestimmt sich aus dem Quotienten zwischen der Geschwindigkeitsdifferenz $\triangle v$ und der Zeitdifferenz $\triangle t$ zwischen diesen Punkten:

Methode

Mittlere Bahnbeschleunigung: $a_m = \frac{|\triangle v|}{\triangle t}$        

Die Geschwindigkeitsdifferenz $\triangle v$ zwischen zwei festgelegten Punkten A und B lässt sich berechnen, indem der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v_A}$ vom Geschwindigkeitsvektor $\vec{v_B}$ subtrahiert wird. Es wird dann der Betrag der Geschwindigkeitsänderung gebildet. Für $\triangle t$ wird dann die Zeitdifferenz zwischen diesen beiden Punkten angegeben.