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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Geschwindigkeit berechnen

Nun folgt das erste von zwei Anwendungsbeispielen zum Thema:  Geschwindigkeit berechnen. 

Beispiel

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Gegeben sei die folgende Bahnkurve: $r(t) = (2t^2, 5t, 0t)$. Wie groß ist der Betrag der Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten $t=1$, $t=2$ und $t=3$ und wie groß ist die Strecke $\triangle s$ zwischen den Punkten? Wie groß ist die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen dem Punkt für $t=1$ und für $t=3$?

1. Bestimmung der Geschwindigkeit

Es wird zunächst der Geschwindigkeitsvektor bestimmt und dann der Betrag gebildet. Der Geschwindigkeitsvektor bestimmt sich durch Ableitung der Bahnkurve nach $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \dot{r} = (4t, 5, 0)$

Danach wird der Betrag des Geschwindigkeitsvektors berechnet:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Allgemeine Geschwindigkeitsformel: $|v| = \sqrt{((4t)^2 + 5^2 + 0^2)} = \sqrt{16t^2 + 25}$

Das ist die allgemeine Geschwindigkeitsformel für die obige Bahnkurve. Es muss nun noch die Geschwindigkeit für die Zeiten $t=1$, $t=2$ und $t=3$ bestimmt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $t = 1: \; |v| =  \sqrt{16 \cdot 1^2 + 25} = 6,4$.

$t = 2: \; |v| =  \sqrt{16 \cdot 2^2 + 25} = 9,43 $.

$t = 3: \; |v| =  \sqrt{16 \cdot 3^2 + 25} = 13$.

Das sind die Geschwindigkeiten zu den unterschiedlichen Zeitpunkten eines Punktes, welcher auf der obigen Bahnkurve unterwegs ist. Diese werden z.B. in $\frac{m}{s} $ oder $\frac{km}{h} $ angegeben.

2. Bestimmung der Strecke zwischen den Punkten

Die Strecke zwischen den Punkten wird über die Änderung des Ortsvektors bestimmt. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle r = r(t=2) - r(t=1) = (8, 10, 0) - (2, 5, 0) = (6,5,0)$.

Es wird nun der Betrag des Ortsvektors gebildet:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|\triangle r| = \triangle s = \sqrt{6^2 + 5^2 + 0^2} = 7,81$.

Hierbei handelt es sich nun um die Strecke (z.B. in m) zwischen den zwei Punkten mit $t=1$ und $t=2$.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle r = r(t=3) - r(t=2) = (18, 15, 0) - (8, 10, 0) = (10,5,0)$.

Es wird nun der Betrag des Ortsvektors gebildet:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|\triangle r| = \sqrt{10^2 + 5^2 + 0^2} = 11,18$. Hierbei handelt es sich nun um die Strecke (z.B. in m) zwischen den zwei Punkten mit $t=2$ und $t=3$.

Die Strecken zwischen den Punkten zu unterschiedlichen Zeitpunkten sind nochmals unten in der Grafik visualisiert:

Strecke zwischen den Punkten

In der obigen Grafik ist die Bahnkurve eingezeichnet und die Punkte zu den unterschiedlichen Zeitpunkten. Dabei wird zwischen jedem Punkt eine konstante Zeitdifferenz von $\triangle t = 1$ eingehalten. 
Zwischen dem Ursprung und dem Punkt A ist die Strecke $\triangle s = 5,39$. Zwischen dem Punkt A und B ist eine Strecke von $\triangle s = 7,81$ gegeben und zwischen B und C eine Strecke von $\triangle s = 11,18$.

Aufgrund der gleichen Zeitdifferenzen zwischen den Punkten, kann man eine Aussage über den zeitlichen Verlauf der Bewegung treffen. Die Bewegung des Punktes entlang der Bahnkurve wird zunehmend schneller, was durch die immer größeren Strecken zwischen den Punkten gekennzeichnet ist. Der Punkt legt mit wachsender Zeit in gleichen Zeitabschnitten $\triangle t$ größere Wegstrecken zurück.

Man sollte wissen, dass die angegebenen Werte $\triangle s$ die Strecke zwischen den Punkten darstellt, nicht die Bogenlänge $s$. D.h. es handelt sich hier um die Angabe der geraden Strecken zwischen den Punkten. Die Bogenlänge (also die tatsächliche Länge der Bahnkurve) zu bestimmen ist um ein Vielfaches komplizierter und würde bestimmt werden durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $s (t) = \int \sqrt{(\frac{dx(t)}{dt})^2 + (\frac{dy(t)}{dt})^2}$.

Für die obige Bahnkurve zwischen den Punkten A (t=1) und B (t=2) wäre die Bogenlänge dann zu berechnen durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $s(t) = \int_{t=1}^{2} \sqrt{(4t)^2 + 5^2}$.

Um daraus dann die Bahngeschwindigkeit $v$ zu bestimmen, müsste diese Gleichung nach der Integration nach $t$ abgeleitet werden.

3. Bestimmung der mittleren Bahngeschwindigkeit

Die mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$.

Die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen Punkt A (t=1) und Punkt C (t=3) beträgt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v_{m}^{1 \to 3} = \frac{7,81 + 11,18}{2} = 9,50$ Länge/Zeit.