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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

In diesem Abschnitt wird die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit betrachtet und gezeigt, wie man daraus die Geschwindigkeit und den Ort in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt.

Ist die Beschleunigung $a$ als Funktion der Geschwindigkeit gegeben, so ist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = a(v)$.

Die Beschleunigung lässt sich durch die Ableitung der Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a(v) = \frac{dv}{dt}$.

Da hier die Beschleunigung abhängig von der Geschwindigkeit ist, stellen wir die Formel nach $dt$ um:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $dt = \frac{dv}{a(v)}$.

Es kann nun wie gewohnt integriert werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

Mit dieser Formel ist nun schon mal die Zeit $t$ in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit bekannt.

Nach der Integration kann dann daraus die Geschwindigkeit $v$ durch Umstellen der Gleichung nach $v$ bestimmt werden.

Danach wird dann der folgende Zusammenhang angewandt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \frac{dx}{dt}$

$dx = v \; dt$

Anschließend führen wir die Integration durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$

$x - x_0 =  \int_{t_0}^t v \; dt$

$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v \; dt$

Die oben berechnete Geschwindigkeit $v$ wird dann in die Gleichung eingesetz und so erhelten wir den Ort $x$. 

Das ganze Vorgehen soll anhand eines Beispiels im kommenden Kurstext aufgezeigt werden.