ZU DEN KURSEN!

Technische Mechanik 3: Dynamik - Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

Kursangebot | Technische Mechanik 3: Dynamik | Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

Technische Mechanik 3: Dynamik

Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

In diesem Abschnitt wird die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit betrachtet und gezeigt, wie man daraus die Geschwindigkeit und den Ort in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt.

Ist die Beschleunigung $a$ als Funktion der Geschwindigkeit gegeben, so ist:

Methode

$a = a(v)$.

Die Beschleunigung lässt sich durch die Ableitung der Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

$a(v) = \frac{dv}{dt}$.

Da hier die Beschleunigung abhängig von der Geschwindigkeit ist, stellen wir die Formel nach $dt$ um:

Methode

$dt = \frac{dv}{a(v)}$.

Es kann nun wie gewohnt integriert werden:

Methode

$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

Mit dieser Formel ist nun schon mal die Zeit $t$ in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit bekannt.

Nach der Integration kann dann daraus die Geschwindigkeit $v$ durch Umstellen der Gleichung nach $v$ bestimmt werden.

Danach wird dann der folgende Zusammenhang angewandt:

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$

$dx = v \; dt$

Anschließend führen wir die Integration durch:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$

$x - x_0 =  \int_{t_0}^t v \; dt$

$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v \; dt$

Die oben berechnete Geschwindigkeit $v$ wird dann in die Gleichung eingesetz und so erhelten wir den Ort $x$. 

Das ganze Vorgehen soll anhand eines Beispiels im kommenden Kurstext aufgezeigt werden.