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Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben:

Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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In diesem Abschnitt wird die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit betrachtet und gezeigt, wie man daraus die Geschwindigkeit und den Ort in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt.

Ist die Beschleunigung $a$ als Funktion der Geschwindigkeit gegeben, so ist:

Methode

$a = a(v)$.

Die Beschleunigung lässt sich durch die Ableitung der Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

$a(v) = \frac{dv}{dt}$.

Da hier die Beschleunigung abhängig von der Geschwindigkeit ist, stellen wir die Formel nach $dt$ um:

Methode

$dt = \frac{dv}{a(v)}$.

Es kann nun wie gewohnt integriert werden:

Methode

$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

Mit dieser Formel ist nun schon mal die Zeit $t$ in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit bekannt.

Nach der Integration kann dann daraus die Geschwindigkeit $v$ durch Umstellen der Gleichung nach $v$ bestimmt werden.

Danach wird dann der folgende Zusammenhang angewandt:

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$

$dx = v \; dt$

Anschließend führen wir die Integration durch:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$

$x - x_0 =  \int_{t_0}^t v \; dt$

$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v \; dt$

Die oben berechnete Geschwindigkeit $v$ wird dann in die Gleichung eingesetz und so erhelten wir den Ort $x$. 

Das ganze Vorgehen soll anhand eines Beispiels im kommenden Kurstext aufgezeigt werden.

Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 3: DynamikTechnische Mechanik 3: Dynamik
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Technische Mechanik 3: Dynamik

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