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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss

Geschwindigkeit Boot auf dem Wasser

Beispiel

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Gegeben sei die obige Grafik. Zu sehen ist ein Fluss mit der Breite $b = 180 m$. Die Fließrichtung des Flusses ist in positive $x$-Richtung. Die Fließgeschwindigkeit des Wassers beträgt $v_w = 1,5 m/s$. Die Fließrichtung des Boots ist in der obigen Grafik durch die gestrichelte Linie angegeben. Das Boot bewegt sich relativ zur Fließgeschwindigkeit des Wassers mit $v_{rel} = 2,5 m/s$.

(a) Welchen Vorhaltewinkel muss der Bootsfahrer einhalten, damit dieser den Punkt $C$ erreicht?

(b) Wie groß ist die Absolutgeschwindigkeit des Bootes?

(c) Nach welcher Zeit erreicht das Boot den Punkt $C$?

(a) Vorhaltewinkel

Bei einem Vorhaltewinkel handelt es sich um einen Korrekturwinkel. Dieser muss eingenommen werden, damit das Boot den Punkt $C$ erreicht. Würde sich das Boot auf der Strecke $\overline{BC}$ ohne Korrekturwinkel bewegen (Wirkungslinie fällt mit der Strecke AB zusammen), so würde durch die Fließgeschwindigkeit des Wassers das Boot nicht beim Punkt $C$ ankommen, sondern viel weiter entfernt das andere Ufer erreichen.
Nur wenn es sich um ein stilles Gewässer handelt, kann das Boot mit seiner Wirkungslinie auf der Strecke $ \overline{BC} $ fahren, um den Punkt $C$ zu erreichen. Da es sich hier aber um ein Strömung handelt, muss das Boot sich ein wenig entgegen der Strömung bewegen (mit einem bestimmen Winkel zur Strecke $ \overline{BC}$) um am Ende am Punkt $C$ anzukommen und die Strecke $ \overline{BC} $ einzuhalten. Die Frage ist nun, wie groß der Korrekturwinkel $\alpha$ von der Strecke $\overline{BC}$ zu seiner Fließrichtung sein muss, damit das Boot den Punkt $C$ erreicht:

Vorhaltewinkel

In der obigen Grafik ist der Vorhaltewinkel bzw. Korrekturwinkel $\alpha$ eingezeichnet, welchen das Boot einhalten muss, damit das Boot auf der Strecke $\overline{BC}$ verbleibt und am Ende den Punkt $C$ erreicht. Der Bootsführer muss dem Wasserstrom also entgegenlenken. Den Winkel kann man so nun nicht einfach bestimmen, da die Geometrie hier nicht ausreichend ist.

Es müssen zusätzlich noch die Relativgeschwindigkeit $v_{rel}$ des Bootes eingezeichnet werden, welche mit der Wirkungslinie des Bootes zusammenfällt und die Fließgeschwindigkeit des Wassers $v_w$, in Richtung der positiven $x$-Achse.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Die Absolutgeschwindigkeit des Bootes ist dann die Resultierende aus diesen beiden Geschwindigkeiten und liegt auf der Strecke $ \overline{BC}$, welche das Boot entlangfährt, um den Punkt $C$ zu erreichen.
Geschwindigkeitsvektoren

Der Vektor $v_{abs}$ liegt genau auf der Strecke $\overline{BC}$, weil das Boot mit dem Korrekturwinkel $\alpha$ mit der Relativgeschwindigkeit $v_{real}$ gegen den Strom steuert und das Boot somit auf der Strecke $\overline{BC}$ verbleibt um am Ende am Punkt $C$ anzukommen. Es wurden außerdem noch die Winkel $\beta$ und $\gamma$ ergänzend zugefügt.

Es kann nun begonnen werden den Vorhaltewinkel zu bestimmen. Dazu wird zunächst der Winkel $\beta$ bestimmt. Dieser ist nämlich äquivalent zu dem Winkel zwischen $v_{abs}$ und $v_{w}$ (gestrichelt) . Damit kann man das Dreieck [$v_{rel}$ - $v_w$ (gestrichelt) - $v_{abs}$] verwenden um $\alpha$ zu bestimmen.

Der Winkel $\beta$ berechnet sich durch (Betrachtung des Dreiecks AB - BC - CA):

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\tan (\beta) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{180 m}{20 m}$.

$\beta = \tan^{-1} \frac{180m}{20m} = 83,66 °$.

Es kann nun das Dreieck [$v_{rel}$ - $v_{w}$ (gestrichelt) - $v_{abs}$] betrachtet und $\alpha$ bestimmt werden. Das Ganze erfolgt mit dem Sinussatz:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\frac{v_w}{\sin (\alpha)} = \frac{v_{rel}}{\sin (\beta)}$

Auflösen nach $\alpha$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\alpha = \sin^{-1} \frac{\sin (beta) }{v_{rel}} \cdot v_w$

$\alpha = \sin^{-1} [\frac{\sin (83,66°)}{2,5 m/s} \cdot 1,5 m/s] = 36,61°$.

Das Boot muss also zur Strecke $ \overline{BC}$ einen Korrekturwinkel von $\alpha = 36,61°$ entgegen der Stromrichtung einnehmen, damit dieses auf der Strecke $ \overline{BC}$ verbleibt und am Ende am Punkt $C$ angelangt.

(b) Absolutgeschwindigkeit des Bootes

Die Absolutgeschwindigkeit des Bootes ist die Resultierende $v_{abs}$ der beiden in der Aufgabenstellung angegebenen Geschwindigkeiten $v_{rel}$ und $v_w$.
Die Resultierende bestimmt sich, indem man das Dreieck [$v_{rel} - $v_w$ (gestrichelt) - v_{abs}$] betrachtet. Der Winkel $\beta$ ist ebenfalls zwischen $v_{abs}$ und $v_w$ gestrichelt. Es kann nun also ganz einfach mittels Sinussatz die Absolutgeschwindigkeit bestimmt werden. Zunächst muss der gegenüberliegende Winkel von $v_{abs}$ bestimmt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $180° - 83,66° - 36,61° = 59,73°$.

Es kann nun der Sinussatz angewandt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen (1) $\frac{v_{abs}}{\sin (59,73°)} = \frac{v_w}{\sin (36,61°)} $

alternativ:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen (2) $\frac{v_{abs}}{\sin (59,73°)} = \frac{v_{rel}}{\sin (83,66°)} $

(1) $v_{abs} = \frac{1,5 m/s}{\sin (36,61°)} \cdot \sin (59,73°) = 2,17 m/s$.

(2) $v_{abs} =  \frac{2,5 m/s}{\sin (83,66°)} \cdot \sin (59,73°) = 2,17 m/s$.

Das Boot ist also, wenn man es vom Ufer aus betrachtet, mit 2,17 m/s unterwegs.

(c) Zeitdauer

Die mittlere Bahngeschwindigkeit bestimmt sich durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$.

Dabei ist $\triangle s$ die gerade Strecke zwischen zwei Punkten. Bei einer Bahn die eine Strecke darstellt (wie in diesem Beispiel), ist dies auch gleichzeitig die tatsächliche Geschwindigkeit. Würde es sich im obigen Beispiel um eine gekrümmte Bahn handeln, dann würde man mittels dieser Gleichung nur die mittlere Bahngeschwindigkeit ermitteln können. 

Für $\triangle s$ gilt die Strecke von B nach C, und diese kann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden (Betrachtung des Dreiecks AB - BC - CA):

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $BC = \triangle s = \sqrt{AB^2 + CA^2} = \sqrt{(180 m)^2 + (20 m)^2} = 181,11 m$

Die Bahngeschwindigkeit ist hier: $v_{abs} = 2,17 m/s$.

Aufgelöst nach der Zeit $\triangle t$ ergibt sich dann:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle t = \frac{\triangle s}{v} = \frac{181,11 m}{2,17 m/s} = 83,46 s$.

Das Boot bewegt sich mit einem Korrekturwinkel von $\alpha = 36,61°$ zur Strecke $ \overline{BC}$ und einer Bootsgeschwindigkeit von 2 m/s auf der Bahn $\overline{BC}$ mit einer absoluten Geschwindigkeit 2,17 m/s über das Wasser. Das Boot fährt im Punkt $B$ los und erreicht den Punkt $C$ nach 83,46 Sekunden.