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Technische Mechanik 3: Dynamik - Ebene Bewegung in Polarkoordinaten

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten

Bei der ebenen Bewegung eines Massenpunktes wird der Ort bzw. die Lage dieses Punktes durch die $x$ und $y$ Koordinaten angegeben. Es ist häufig sinnvoll für diese ebenen Betrachtungen Polarkoordinaten einzuführen. Hierzu führt man ein ebenes $r, \varphi$-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung mit dem des $x,y$-Koordinatensystems zusammenfällt. Der Winkel $\varphi$ wird dabei von der positiven $x$-Achse ausgehend positiv gezählt. 

Es werden die Basisvektoren $e_r$ und $e_{\varphi}$ eingeführt, welche beide orthogonal (senkrecht) zueinander stehen:

Ebene Bewegung eines Punktes in Polarkoordinaten

In der obigen Grafik ist eine Bahnkurve (rot), welche in der $x,y$-Ebene liegt zu sehen. Der Punkt $P$ auf der Bahnkurve ist durch die $x,y$-Koordinaten festgelegt. Man kann diese nun auch durch Polarkoordinaten ersetzen, indem die Basisvektoren $e_r$ und $e_{\varphi}$ eingeführt werden. Dabei hat der Basisvektor $e_r$ den Winkel $\varphi$ zur Horizontalen und der Basisvektor $e_{\varphi}$ den Winkel $\varphi$ zur Vertikalen. Die beiden Basisvektoren stehen demmach orthogonal zueinander. 

Die Zerlegung der Basisvektoren im $x,y$-Koordinatensystem führt zu:

$e_r = (\cos \varphi, \sin \varphi) \; \rightarrow \; \dot{e_r} = \dot{\varphi} (-\sin \varphi, \cos \varphi) = \dot{\varphi} e_{\varphi}$

$e_{\varphi} = (-\sin \varphi, \cos \varphi) \; \rightarrow \; \dot{e_{\varphi}} = \dot{\varphi} (-\cos \varphi, -\sin \varphi) = -\dot{\varphi} e_r$

Der Ortsvektor $\vec{r}$ lautet in Polarkoordinaten:

Methode

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$\vec{r} = r \cdot e_r$

Geschwindigkeit in Polarkoordinaten

Die Differentation des Ortsvektors nach der Zeit $t$ ergibt dann den Geschwindigkeitsvektor:

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = \dot{r} e_r + r \dot{e_r}$


Man sieht oben deutlich, dass $\dot{e_r} = \dot{\varphi} e_{\varphi}$. Einsetzen ergibt:

$\vec{v} = \dot{r} e_r + r \dot{\varphi} e_{\varphi} = \vec{v_r} + \vec{v_{\varphi}}$


Die skalaren Komponenten des Geschwindigkeitsvektors sind die 

Methode

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Radialgeschwindigikeit       $v_r = \dot{r}$

Umfangsgeschwindigkeit     $v_{\varphi} = r \dot{\varphi} $

Beschleunigung in Polarkoordinaten

Den Beschleunigungsvektor erhält man - wie bereits in den vorherigen Abschnitten aufgezeigt - durch die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit $t$:

$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = (\ddot{r} e_r + \dot{r} \dot{e_r}) + (\dot{r} \dot{\varphi} e_{\varphi} + r \ddot{\varphi} e_{\varphi} + r \dot{\varphi} \dot{e_{\varphi}} = \vec{a_r} + \vec{a_{\varphi}}$

Einsetzen von

$\dot{e_r} = \dot{\varphi} e_{\varphi}$ und $\dot{e_{\varphi}} = -\dot{\varphi} e_r$

ergibt

$\vec{a} = (\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2) e_r  + (r \ddot{\varphi} + 2 \dot{r} \dot{\varphi}) e_{\varphi} = \vec{a_r} + \vec{a_{\varphi}}$

Die beiden skalaren Komponenten des Beschleunigungsvektors sind die

Methode

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Radialbeschleunigung    $a_r = \ddot{r} - r \dot{\varphi}^2$

Umfangsbeschleunigung   $a_{\varphi} = r \ddot{\varphi} + 2 \dot{r} \dot{\varphi}$

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ bestimmt sich durch die erste Ableitung des Winkels $\varphi$ nach der Zeit. Es handelt sich also um eine auf die Zeit bezogene Winkeländerung $\dot{\varphi} = \frac{d\varphi}{dt}$:

Methode

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Winkeländerung: $\dot{\varphi} = \omega$

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ hat die Dimension 1/Zeit.

Die Winkelbeschleunigung $\alpha$ ergibt sich durch die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit:

Methode

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Winkelbeschleunigung: $\dot{\omega} = \ddot{\varphi} = \alpha$

Die Winkelbeschleunigung hat die Dimension 1/Zeit².