ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Technische Mechanik 3: Dynamik
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Bei der ebenen Bewegung eines Massenpunktes wird der Ort bzw. die Lage dieses Punktes durch die $x$ und $y$ Koordinaten angegeben. Es ist häufig sinnvoll für diese ebenen Betrachtungen Polarkoordinaten einzuführen. Hierzu führt man ein ebenes $r, \varphi$-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung mit dem des $x,y$-Koordinatensystems zusammenfällt. Der Winkel $\varphi$ wird dabei von der positiven $x$-Achse ausgehend positiv gezählt. 

Es werden die Basisvektoren $e_r$ und $e_{\varphi}$ eingeführt, welche beide orthogonal (senkrecht) zueinander stehen:

Ebene Bewegung eines Punktes in Polarkoordinaten

In der obigen Grafik ist eine Bahnkurve (rot), welche in der $x,y$-Ebene liegt zu sehen. Der Punkt $P$ auf der Bahnkurve ist durch die $x,y$-Koordinaten festgelegt. Man kann diese nun auch durch Polarkoordinaten ersetzen, indem die Basisvektoren $e_r$ und $e_{\varphi}$ eingeführt werden. Dabei hat der Basisvektor $e_r$ den Winkel $\varphi$ zur Horizontalen und der Basisvektor $e_{\varphi}$ den Winkel $\varphi$ zur Vertikalen. Die beiden Basisvektoren stehen demmach orthogonal zueinander. 

Die Zerlegung der Basisvektoren im $x,y$-Koordinatensystem führt zu:

$e_r = (\cos \varphi, \sin \varphi) \; \rightarrow \; \dot{e_r} = \dot{\varphi} (-\sin \varphi, \cos \varphi) = \dot{\varphi} e_{\varphi}$

$e_{\varphi} = (-\sin \varphi, \cos \varphi) \; \rightarrow \; \dot{e_{\varphi}} = \dot{\varphi} (-\cos \varphi, -\sin \varphi) = -\dot{\varphi} e_r$

Der Ortsvektor $\vec{r}$ lautet in Polarkoordinaten:

Methode

$\vec{r} = r \cdot e_r$

Geschwindigkeit in Polarkoordinaten

Die Differentation des Ortsvektors nach der Zeit $t$ ergibt dann den Geschwindigkeitsvektor:

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = \dot{r} e_r + r \dot{e_r}$


Man sieht oben deutlich, dass $\dot{e_r} = \dot{\varphi} e_{\varphi}$. Einsetzen ergibt:

$\vec{v} = \dot{r} e_r + r \dot{\varphi} e_{\varphi} = \vec{v_r} + \vec{v_{\varphi}}$


Die skalaren Komponenten des Geschwindigkeitsvektors sind die 

Methode

Radialgeschwindigikeit       $v_r = \dot{r}$

Umfangsgeschwindigkeit     $v_{\varphi} = r \dot{\varphi} $

Beschleunigung in Polarkoordinaten

Den Beschleunigungsvektor erhält man - wie bereits in den vorherigen Abschnitten aufgezeigt - durch die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit $t$:

$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = (\ddot{r} e_r + \dot{r} \dot{e_r}) + (\dot{r} \dot{\varphi} e_{\varphi} + r \ddot{\varphi} e_{\varphi} + r \dot{\varphi} \dot{e_{\varphi}} = \vec{a_r} + \vec{a_{\varphi}}$

Einsetzen von

$\dot{e_r} = \dot{\varphi} e_{\varphi}$ und $\dot{e_{\varphi}} = -\dot{\varphi} e_r$

ergibt

$\vec{a} = (\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2) e_r  + (r \ddot{\varphi} + 2 \dot{r} \dot{\varphi}) e_{\varphi} = \vec{a_r} + \vec{a_{\varphi}}$

Die beiden skalaren Komponenten des Beschleunigungsvektors sind die

Methode

Radialbeschleunigung    $a_r = \ddot{r} - r \dot{\varphi}^2$

Umfangsbeschleunigung   $a_{\varphi} = r \ddot{\varphi} + 2 \dot{r} \dot{\varphi}$

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ bestimmt sich durch die erste Ableitung des Winkels $\varphi$ nach der Zeit. Es handelt sich also um eine auf die Zeit bezogene Winkeländerung $\dot{\varphi} = \frac{d\varphi}{dt}$:

Methode

Winkeländerung: $\dot{\varphi} = \omega$

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ hat die Dimension 1/Zeit.

Die Winkelbeschleunigung $\alpha$ ergibt sich durch die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit:

Methode

Winkelbeschleunigung: $\dot{\omega} = \ddot{\varphi} = \alpha$

Die Winkelbeschleunigung hat die Dimension 1/Zeit².

Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 3: DynamikTechnische Mechanik 3: Dynamik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Technische Mechanik 3: Dynamik

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einführungstext
    • Einleitung zu Einführungstext
  • Kinematik eines Massenpunktes
    • Einleitung zu Kinematik eines Massenpunktes
    • Definition: Massenpunkt
    • Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
      • Einleitung zu Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
      • Lage des Massenpunktes
      • Geschwindigkeit eines Massenpunktes
        • Geschwindigkeitsvektor
          • Einleitung zu Geschwindigkeitsvektor
          • Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
        • Bahngeschwindigkeit
          • Einleitung zu Bahngeschwindigkeit
          • Strecke zwischen zwei Punkten
          • Bahngeschwindigkeit und Bogenlänge
          • Mittlere Bahngeschwindigkeit
          • Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
          • Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss
      • Beschleunigung eines Massenpunktes
        • Beschleunigungsvektor
        • Bahnbeschleunigung
          • Einleitung zu Bahnbeschleunigung
          • Beispiel: Bahnbeschleunigung
    • Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
      • Einleitung zu Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
      • Kinematische Grundaufgaben
        • Einleitung zu Kinematische Grundaufgaben
        • Kinematische Diagramme
          • Einleitung zu Kinematische Diagramme
          • Ort-Zeit-Diagramm
          • Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
          • Beschleunigung-Zeit-Diagramm
        • Gleichförmige Bewegung
          • Einleitung zu Gleichförmige Bewegung
          • Beispiel: Gleichförmige Bewegung
          • Beispiel: Geschwindigkeit, Auto
        • Gleichförmig beschleunigte Bewegung
          • Einleitung zu Gleichförmig beschleunigte Bewegung
          • Beispiel: Freier Fall
          • Beispiel: Senkrechter Wurf
        • Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
          • Einleitung zu Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
          • Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
        • Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
          • Einleitung zu Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
          • Beispiel: Beschleunigung
        • Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
          • Einleitung zu Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
          • Beispiel: Funktion des Ortes
          • Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
      • Zusammenfassung der kinematischen Grundaufgaben
    • Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
      • Einleitung zu Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
      • Sonderfall: Kreisbewegung
  • Kinetik des Massenpunktes
    • Einleitung zu Kinetik des Massenpunktes
    • Newtonsche Gesetze
    • Klassifizierung von Kräften
    • Newtonsche Grundgesetz
    • Inertialsystem
    • Prinzip von d'Alembert
    • Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip
      • Beispiel: Kiste in Ruhe
      • Beispiel: Vertikaler Wurf
      • Beispiel: Schiefer Wurf
    • Impulssatz und Impulsmomentensatz
      • Impulssatz
      • Stoßvorgänge
      • Drehimpuls / Drehimpulssatz
    • Arbeitssatz
    • Potential, Energiesatz
    • Leistung
  • Kinetik des Massenpunktsystems
    • Einleitung zu Kinetik des Massenpunktsystems
    • Massenmittelpunktsatz / Schwerpunktsatz
    • Gesamtimpuls / Impulssatz
    • Drehimpuls / Drehimpulssatz
    • Arbeitssatz
    • Energiesatz
    • Stoßvorgänge
      • Einleitung zu Stoßvorgänge
      • Stoßvorgänge - Definitionen
        • Einleitung zu Stoßvorgänge - Definitionen
        • Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
          • Einleitung zu Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
          • Beispiel: Gerader, zentrischer Stoß
        • Schiefer, zentrischer Stoß zweier Körper
          • Einleitung zu Schiefer, zentrischer Stoß zweier Körper
          • Beispiel: Schiefer, zentrischer Stoß
  • Kinematik des starren Körpers
    • Einleitung zu Kinematik des starren Körpers
    • Translation/Rotation
      • Einleitung zu Translation/Rotation
      • Rotation um eine feste Achse
      • Rotation um einen raumfesten Punkt
    • Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
    • Allgemeine räumliche Bewegung
    • Momentanzentrum
  • 72
  • 15
  • 105
  • 118
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 3: Dynamik

    Ein Kursnutzer am 11.07.2016:
    "super"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 3: Dynamik

    Ein Kursnutzer am 05.01.2016:
    "bis jetzt sehr gut! "

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen