Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes

Bei einer geradlinigen Bewegung verläuft der Punkt $P$ auf einer Geraden. Lässt man diese Gerade mit der $x$-Achse zusammenfallen, so besitzt der Ortsvektor $r$ nur eine $x$-Komponente. Sowohl der Geschwindigkeitsvektor, als auch der Beschleunigungsvektor zeigen dann in $x$-Richtung. Aufgrund dessen kann man hier auf die Vektordarstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung verzichten:

Da es sich hier bei der Bogenlänge $s$ um eine Gerade handelt, welche mit der $x$-Achse zusammenfällt, kann man auch alternativ schreiben:

Ist der Ort $x$ in Abhängigkeit von $t$ bekannt, so kann also die Geschwindigkeit durch einmaliges Ableiten und die Beschleunigung durch zweimaliges Ableiten von $x$ bestimmt werden.

In der obigen Grafik ist eine geradlinige Bewegung des Punktes $P$ zu sehen, welcher die Bogenlänge $s$ zurückgelegt hat. Anstelle der Bogenlänge $s$ kann man hier die Strecke $x$ verwenden, da die Bogenlänge eine Strecke darstellt. Die erste Ableitung der Bogenlänge (=Geschwindigkeit) $\dot{s} = v$ wird dann zu $\dot{x} = v$ und die zweite Ableitung der Bogenlänge (Beschleunigung) $\ddot{s} = a$ wird zu $\ddot{x} = a$.

Geschwindigkeit zwischen zwei Punkten

Die Strecke zwischen zwei Punkten ist (siehe vorherige Abschnitte) $\triangle s$. Die mittlere Geschwindigkeit ließ sich bestimmen mit:

Ist die betrachtete Bahn keine Strecke (siehe untere Grafik), so ergibt sich mit der obigen Formel die mittlere Geschwindigkeit $v_m$, da $\triangle s$ nur die gerade Strecke zwischen zwei Punkten angibt und eben nicht die Bogenlänge:

In der Grafik ist deutlich die Bahn des Punktes $P$ zu erkennen.

Zum Zeitpunkt $t$ hat der Punkt $P$ die Bogenlänge $s(t)$ zurückgelegt. Zum Zeitpunkt $t + \triangle t$ hat der Punkt $P'$ die Bogenlänge $s(t + \triangle t)$ zurückgelegt. Will man nun die Bogenlänge zwischen den beiden Punkten bestimmen, so zieht man die Bogenlänge $s(t)$ von $s(t + \triangle t)$ ab:

Das ist dann die Bogenlänge zwischen den beiden Punkten $P$ und $P'$.

Diese wird bestimmt indem die Ortsvektoren $r$ der zwei Punkte $P$ und $P'$ voneinander abgezogen werden und dann der Betrag gebildet wird (siehe vorherige Abschnitte):

Es handelt sich in diesem Abschnitt nun aber um eine geradelinige Bewegung. Das bedeutet also, dass die Bahn eine Strecke darstellt. Ist dies der Fall so ist die Bogenlänge zwischen zwei Punkten gleich der Strecke zwischen zwei Punkten:

Das wiederrum bedeutet, dass die Formel

nicht die mittlere Geschwindigkeit, sondern die tatsächliche Geschwindigkeit $v$ zwischen zwei Punkten angibt.

Häufig liegt der Fall vor, dass die Beschleunigung gegeben ist und dann mittels Integration die Geschwindigkeit und der Ort bestimmt werden sollen. Es werden also aus gegebenen kinematischen Größen (Beschleunigung) andere kinematische Größen (Geschwindigkeit, Ort) bestimmt. Diese Bestimmung nennt man auch kinematische Grundaufgaben, welche in den folgenden Abschnitten aufgezeigt werden sollen.

Nun folgen zwei Kursvideos zu der behandelten Thematik