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Technische Mechanik 3: Dynamik - Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes

Kursangebot | Technische Mechanik 3: Dynamik | Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes

Technische Mechanik 3: Dynamik

Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes

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Bei einer geradlinigen Bewegung verläuft der Punkt $P$ auf einer Geraden. Lässt man diese Gerade mit der $x$-Achse zusammenfallen, so besitzt der Ortsvektor $r$ nur eine $x$-Komponente. Sowohl der Geschwindigkeitsvektor, als auch der Beschleunigungsvektor zeigen dann in $x$-Richtung. Aufgrund dessen kann man hier auf die Vektordarstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung verzichten:

Methode

Geschwindigkeit: $v = \dot{s}$        

Methode

Beschleunigung: $a = \ddot{s}$.     

Da es sich hier bei der Bogenlänge $s$ um eine Gerade handelt, welche mit der $x$-Achse zusammenfällt, kann man auch alternativ schreiben:

Methode

Geschwindigkeit: $v = \dot{x}$        

Methode

Beschleunigung: $a = \ddot{x}$.     

Ist der Ort $x$ in Abhängigkeit von $t$ bekannt, so kann also die Geschwindigkeit durch einmaliges Ableiten und die Beschleunigung durch zweimaliges Ableiten von $x$ bestimmt werden.

Geradlinige Bewegung

In der obigen Grafik ist eine geradlinige Bewegung des Punktes $P$ zu sehen, welcher die Bogenlänge $s$ zurückgelegt hat. Anstelle der Bogenlänge $s$ kann man hier die Strecke $x$ verwenden, da die Bogenlänge eine Strecke darstellt. Die erste Ableitung der Bogenlänge (=Geschwindigkeit) $\dot{s} = v$ wird dann zu $\dot{x} = v$ und die zweite Ableitung der Bogenlänge (Beschleunigung) $\ddot{s} = a$ wird zu $\ddot{x} = a$.

Geschwindigkeit zwischen zwei Punkten

Die Strecke zwischen zwei Punkten ist (siehe vorherige Abschnitte) $\triangle s$. Die mittlere Geschwindigkeit ließ sich bestimmen mit:

Methode

$v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$.

Ist die betrachtete Bahn keine Strecke (siehe untere Grafik), so ergibt sich mit der obigen Formel die mittlere Geschwindigkeit $v_m$, da $\triangle s$ nur die gerade Strecke zwischen zwei Punkten angibt und eben nicht die Bogenlänge:

Bogenlänge

In der Grafik ist deutlich die Bahn des Punktes $P$ zu erkennen.

Zum Zeitpunkt $t$ hat der Punkt $P$ die Bogenlänge $s(t)$ zurückgelegt. Zum Zeitpunkt $t + \triangle t$ hat der Punkt $P'$ die Bogenlänge $s(t + \triangle t)$ zurückgelegt. Will man nun die Bogenlänge zwischen den beiden Punkten bestimmen, so zieht man die Bogenlänge $s(t)$ von $s(t + \triangle t)$ ab:

Methode

$s(\triangle t) = s(t + \triangle t) - s(t)$.

Das ist dann die Bogenlänge zwischen den beiden Punkten $P$ und $P'$.

Merke

Es ist meistens sehr schwierig die Bogenlänge zu bestimmen (wenn diese nicht angegeben ist) und deswegen beschränkt man sich häufig auf die geradlinige Strecke zwischen zwei Punkten $\triangle s$.

Diese wird bestimmt indem die Ortsvektoren $r$ der zwei Punkte $P$ und $P'$ voneinander abgezogen werden und dann der Betrag gebildet wird (siehe vorherige Abschnitte):

Methode

$\triangle s = |r(t + \triangle t) - r(t)|$.
Ortsvektoren

Es handelt sich in diesem Abschnitt nun aber um eine geradelinige Bewegung. Das bedeutet also, dass die Bahn eine Strecke darstellt. Ist dies der Fall so ist die Bogenlänge zwischen zwei Punkten gleich der Strecke zwischen zwei Punkten:

Methode

$s(\triangle t) = \triangle s$.
Geradlinige Bewegung

Das wiederrum bedeutet, dass die Formel

Methode

Geschwindigkeit zw. zwei Punkten (geradlinige Bewegung): $v = \frac{\triangle s}{\triangle t}$   

nicht die mittlere Geschwindigkeit, sondern die tatsächliche Geschwindigkeit $v$ zwischen zwei Punkten angibt.

Häufig liegt der Fall vor, dass die Beschleunigung gegeben ist und dann mittels Integration die Geschwindigkeit und der Ort bestimmt werden sollen. Es werden also aus gegebenen kinematischen Größen (Beschleunigung) andere kinematische Größen (Geschwindigkeit, Ort) bestimmt. Diese Bestimmung nennt man auch kinematische Grundaufgaben, welche in den folgenden Abschnitten aufgezeigt werden sollen.

Nun folgen zwei Kursvideos zu der behandelten Thematik

Video: Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes

Video: Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes