Beispiel: Überholvorgang

Anwendungsbeispiel: Überholvorgang

Schritt 1: Aufstellen der Formel für die Berechnung der Gesamtstrecke des Pkw beim Überholvorgang.

Der Pkw beschleunigt auf eine Geschwindigkeit von $v \; = \; 85 \frac{km}{h}$.

$a \; = \; \frac{dv}{dt}$     |Umstellen nach dv

$dv \; = \; a \cdot dt$

$\int dv \; = \; a \int dt$

$v - v_0 \; = \; at$     (1)

Umrechnen von:

- $v \; = \; 85 \frac{km}{h}$ in $\frac{m}{s}$:

$v \; = \; 85 \frac{km}{m} \cdot \frac{1000 \frac{m}{km}}{3600 \frac{s}{h}} \; = \; 23,61 \frac{m}{s}$

- $v \; = \; 60 \frac{km}{h}$ in $\frac{m}{s}$:

$v_0 \; = \; 60 \frac{km}{m} \cdot \frac{1000 \frac{m}{km}}{3600 \frac{s}{h}} \; = \; 16,67 \frac{m}{s}$

Einsetzen in (1) und umstellen nach t:

$23,61 \frac{m}{s} - 16,67 \frac{m}{s} \; = \; 1 \frac{m}{s^2} \cdot t$     |: $1 \frac{m}{s^2}$

$t \; = \; \frac{23,61 \frac{m}{s} - 16,67 \frac{m}{s}}{1 \frac{m}{s^2}} \; = \; 6,94 s$

Der Pkw beschleunigt in $t \; = \; 6,94 s$ auf seine Endgeschwindigkeit von $v \; = \; 85 \frac {km}{h}$.

Welchen Weg legt der Pkw in dieser Zeit zurück?

$v \; = \; \frac{dx}{dt}$     | Gleichung (1) wird nach v aufgelöst ($v \; = \; at \;+\; v_0$) und einsetzen

$\frac{dx}{dt} \; = \; at \;+\; v_0$     |auflösen nach dx

$dx \; = \; (at \;+\; v_0)dt$

$\int dx \; = \; \int at \cdot dt \;+\; v_0 \int dt$

$x \; = \; \frac{1}{2} at^2 \;+\; v_0 t$

$x \; = \; \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{m}{s^2} (6,94 s)^2 \;+\; 16,67 \frac{m}{s} \cdot 6,94 s$

$x \; = \; 139,77 m$ legt der Pkw während der Beschleunigungsphase von $t \; = \; 6,94 s$ zurück.

Der Pkw fährt danach noch mit der Geschwindigkeit von $v \; = \; 85 \frac{km}{h}$ weiter.

Welche Strecke legt er dabei zurück?

$v \; = \; \frac{dx}{dt}$     |auflösen nach dx

$dx \; = \; v dt$

$\int dx \; = \; v \int_{6,94 s}^{t} dt$

$x \; = \; v (t - 6,94 s)$

$x \; = \; 23,61 \frac{m}{s} (t - 6,94s)$

Bei $t \; = \; 6,94 s$ beginnt der Pkw sich mit der konstanten Geschwindigkeit von $v \; = \; 23,61 \frac{m}{s} \; \widehat{=} \; 85 \frac{km}{h}$ zu bewegen.

Die Formel für die Gesamtstrecke des Pkw während des Überholvorgangs lautet:

$x_P \; = \; 139,77 m \;+\; 23,61 \frac{m}{s} (t - 6,94 s)$

Welchen Weg legt der Lkw während des Überholvorgangs zurück?

Der Lkw fährt die ganze Zeit über mit der konstanten Geschwindigkeit von $v \; = \; 16,67 \frac{m}{s}$.

$v \; = \; \frac{dx}{dt}$

$dx \; = \; v \cdot dt$

$\int_{0}^{t} dx \; = \; v \int_{0}^{t} dt$

$x \; = \; vt \; = \; 16,67 \frac{m}{s} \cdot t$

Zur Berechnung von $x_L$ betrachten wir folgende Skizze:

$x_L \; = \; 50 m \;+\; 15 m \;+\; 16,67 \frac{m}{s} t \;+\; 50 m \;+\; 4 m$

$x_L $ mit $x_P$ gleichsetzen:

$x_P \; = \; 139,77 m \;+\; 23,61 \frac{m}{s} (t - 6,94 s)$

$x_L \; = \; x_P$

$50 m \;+\; 15 m \;+\; 16,67 \frac{m}{s} t \;+\; 50 m \;+\; 4 m \; = \; 139,77 m \;+\; 23,61 \frac{m}{s} (t - 6,94 s)$     (2)

- Nebenrechnung: Auflösen der Klammer

$23,61 \frac{m}{s} (t - 6,94 s) \; = \; 23,61 \frac[{m}{s} t \;-\; 23,61 \frac{m}{s} \cdot 6,94 s$     |einsetzen in (2)

$50 m \;+\; 15 m \;+\; 16,67 \frac{m}{s} t \;+\; 50 m \;+\; 4 m \; = \; 139,77 m \;+\; 23,61 \frac[{m}{s} t \;-\; 23,61 \frac{m}{s} \cdot 6,94 s$    

Umstellen nach t:

$119 m \;+\; 16,67 \frac{m}{s} t \; = \; 139,77 m \;+\; 23,61 \frac[{m}{s} t \;-\; 163,85 m$     | -$139,77 m$  

$119 m \;+\; 16,67 \frac{m}{s} t \;-\; 139,77 m \; = \; 23,61 \frac[{m}{s} t \;-\; 163,85 m$     | +$163,85 m$  

$119 m \;+\; 16,67 \frac{m}{s} t \;-\; 139,77 m \;+\; 163,85 m \; = \; 23,61 \frac[{m}{s} t$     | -$16,67 \frac {m}{s} t$ 

$119 m \;-\; 139,77 m \;+\; 163,85 m \; = \; 23,61 \frac{m}{s} t \;-\; 16,67 \frac{m}{s} t$     |t ausklammern

$119 m \;-\; 139,77 m \;+\; 163,85 m \; = \; t (23,61 \frac{m}{s} \;-\; 16,67 \frac{m}{s} )$     |:$(23,61 \frac{m}{s} \;-\; 16,67 \frac{m}{s})$

$t \; = \; \frac{119 m \;-\; 139,77 m \;+\; 163,85 m}{23,61 \frac{m}{s} - 16,67 \frac{m}{s}}$

$t \; = \; 20,62 s$

Nun können wir die Strecke des Pkw, die dieser während des gesamten Überholvorgangs zurückgelegt hat, berechnen:

$x_P \; = \; 139,77 m \;+\; 23,61 \frac{m}{s} \cdot (20,62 s - 6,94 s)$

$x_P \; = \; 462,76 m$ benötigt der Pkw für den Überholvorgang.

Wir berechnen zusätzlich noch die von dem Lkw während des Überholvorgangs zurückgelegte Strecke:

$x_L \; = \; 16,67 \frac{m}{s} \cdot 20,62 s$

$x_L \; = \; 343,74 m$ hat der Lkw zurückgelegt, während er von dem Pkw überholt wurde.