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Technische Mechanik 3: Dynamik

Impulssatz

In diesem Abschnitt wird der Impulssatz behandelt. Es folgt ein Beispiel, in welchem die Anwendung des Impulssatzes aufgezeigt wird. Als Alternative wird die Berechnung anhand des Newtonschen Grundgesetztes aufgezeigt.


Es wird zunächst wieder das Newtonsche Grundgesetz betrachtet:

$F = ma$

Wird das Netwonsche Gesetz integriert, so ergibt sich:

$\int F = \int ma$

Einsetzen von $a = \frac{dv}{dt}$ ergibt:

$\int F = \int m \frac{dv}{dt}$

Da die Masse $m$ konstant bleibt, kann man auch schreiben:

$\int F = \int \frac{dvm}{dt}$

Hierbei ist $p = mv$ der Gesamtimpuls. Auflösen nach $dvm$ ergibt:

$\int_{t_0}^t F \; dt = \int_{v_0}^v dvm$

Es ergibt sich der Impulssatz zu:

Methode

$\int_{t_0}^t F \; dt = vm - v_0m$      Impulssatz

mit

$p = vm$  Impuls nachher

$p_0 = v_0m$   Impuls vorher

Greifen keine äußeren Kräfte an den Massenpunkt an, so ergibt sich $F = 0$ und damit $vm - v_0m= 0$. Der Gesamtimpuls ist dann konstant:

Methode

$p = mv = const$


Mithilfe des Impulssatzes kann man die Geschwindigkeit $v$ nach dem Stoß aus der obigen Gleichung bestimmen, sofern die Geschwindigkeit $v_0$ vor dem Stoß gegeben und die Kraft $F$ entweder konstant oder als Funktion der Zeit gegeben ist. Für die Bestimmung der Geschwindigkeit $v$ aus dem Newtonschen Gesetz hingegen sind dazu zwei Schritte erforderlich:

  • Zunächst Bestimmung der Beschleunigung $a$ aus: $\sum F = ma$

  • Verwendung von $a = \frac{dv}{dt}$, umstellen nach $dv$ und anschließende Integration zur Bestimmung der Geschwindigkeit $v$.

Das bedeutet also, dass der Impulssatz als Alternative zum Newtonschen Gesetz verwendet werden kann, vor allem wenn die Zeit als Faktor in der Berechnung mitberücksichtigt werden muss. Es gibt aber auch Fälle, da kann das Newtonsche Gesetz nicht angewandt werden. Dort muss die Aufgabenstellung dann mit dem Impulssatz gelöst werden.

Beispiel: Impulssatz vs. Newtonsche Grundgesetz

Beispiel: Impulssatz vs. Newtonsches Grundgesetz

Beispiel

Gegeben sei die obige Kiste ($m = 10 kg$), welche sich auf einer geneigten Fläche (Neigungswinkel $\alpha = 30°$ zur Horizontalen) befindet. Die Kiste besitzt die Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20 \frac{m}{s}$. Die Kraft $F = 50 \frac{N}{s} \cdot t$ sei als Funktion der Zeit gegeben. Der Reibungskoeffizient beträgt $\mu = 0,3$. Wie groß ist die Geschwindigkeit $v$ der Kiste nach der Zeitdifferenz $\triangle t = t_2 - t_1$, wenn $t_1 = 1 s$ und $t_2 = 3s$ ?

Es soll im Folgenden gezeigt werden, wie man die Geschwindigkeit $v$ nach dem Impulssatz und nach dem Newtonschen Grundgesetz bestimmt.

Zunächst wird das Freikörperbild aufgestellt:

Freikörperbild: Impulssatz vs. Newtonsche Grundgesetz

Impulssatz

Der Impulssatz ist gegeben durch:

$\int F \; dt = mv - mv_0$

Dabei sind für $F$ alle auf den Körper einwirkenden Kräfte zu berücksichtigen. Wirken Kräfte nicht nur in eine Richtung, so müssen Kräftekomponenten aufgestellt werden. In diesem Fall wirken die an der Kiste angreifenden Kräfte in $x$- und $y$-Richtung. Demnach müssen die Kräfte und damit auch der Impuls für beide Richtungen separat betrachtet werden. 

Merke

Man wählt das Koordinatensystem so, dass die $x$-Achse in Richtung der Bewegung zeigt.

Es wird mit der Betrachtung der $x$-Richtung begonnen:

$\int F_x \; dt = mv_x - mv_{0x}$

In $x$-Richtung wirkt die Zugkraft $F$, die Reibungskraft $-R$ (minus, da entgegen der positiven $x$-Richtung) und anteilig die Gewichtskraft $G_x$  Einsetzen ergibt:

$\int (F - R + G_x) dt = mv_x - mv_{0x}$.


Es gilt für $F = 50 \frac{N}{s} t$, $R = \mu N$ und $G_x = G \sin (\alpha)$. Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung ist $v_{0x} = 20 \frac{m}{s} = v_0$, weil die Geschwindigkeit $v_0$ in $x$-Richtung zeigt. Einsetzen ergibt:

$\int (50 \frac{N}{s} t  - \mu N + G \sin (\alpha)) dt = mv_x - m \cdot 20 \frac{m}{s}$.

Einsetzen aller bekannten Werte aus der Aufgabenstellung, wobei $G = mg$:

$\int (50 \frac{N}{s} t  - 0,3 N +  10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°)) dt = 10 kg v_x -10 kg \cdot 20 \frac{m}{s}$.

Integration:

Bei der Integration muss nun unterschieden werden. Die konstanten Kräfte $G_x$ und $R$ können einfach von $t_1$ bis $t_2$ integriert werden. Die Zugkraft $F$ hingegen ist von der Zeit abhängig. Damit hier der richtige Wert ermittelt wird, muss diese von Beginn an $t_0 = 0$ bis zum Zeitpunkt $t_2$ integriert werden:

$\scriptsize{\int_0^{t_2} 50 \frac{N}{s} \cdot t  \; dt + \int_{t_1}^{t_2}  (- 0,3 N +  10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°)) dt = 10 kg v_x -10 kg \cdot 20 \frac{m}{s}}$

$\scriptsize{\frac{1}{2} 50 \frac{N}{s} \cdot t_2^2 - 0,3 N (t_2 - t_1) +  10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) (t_2 - t_1) = 10 kg v_x -10 kg \cdot 20 \frac{m}{s}}$

Auflösen nach $v_x$:

$\scriptsize{v_x = \frac{1}{10 kg} \cdot [ \frac{1}{2} 50 \frac{N}{s} \cdot t_2^2 - 0,3 N (t_2 - t_1) +  10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) (t_2 - t_1) + 10 kg \cdot 20 \frac{m}{s} ]}$


Einsetzen von $t_2 = 3s$ und $t_2 - t_1 = 2s$:

$\scriptsize{v_x = \frac{1}{10 kg} \cdot [ \frac{1}{2} 50 \frac{N}{s} \cdot (3s)^2 - 0,3 N \cdot 2s +  10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) \cdot 2s + 10 kg \cdot 20 \frac{m}{s} ]}$


Es muss noch die Kraft $N$ bestimmt werden. Diese wird bestimmt, indem die $y$-Richtung betrachtet wird:

$\int F_y \; dt = mv_y - mv_{0y}$

Einsetzen der Kräfte $N$ und $-G_y$ (entgegen der positiven $y$-Richtung):

$\int (N - G_y) dt = mv_y - mv_{0y}$

Es gilt $G_y = G \cos (30°)$ und $v_{0y} = 0$, da die Geschwindigkeit nicht in $y$-Richtung wirkt. Damit ergibt sich auch $v_y = 0$. Mit $G = mg$ ergibt sich:

$\int (N - mg \cos (30°)) dt = 0 $

Einsetzen aller Werte aus der Aufgabenstellung:

$\int_{t_1}^{t_2} (N - 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°)) dt = 0$

Integration:

Da hier nur konstante Kräfte auftreten, erfolgt die Integration direkt von $t_1$ nach $t_2$:

$ N (t_2 - t_1) - 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) (t_2 - t_1) = 0$

Einsetzen von $t_2 - t_1 = 2s$:

$ N \cdot 2s - 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) \cdot 2s  = 0 $

Man sieht bereits an der obigen Gleichung, dass die Zeit $t$ bei dieser Gleichung unerheblich ist (lässt sich kürzen). Es verbleibt also eine gewöhnliche Gleichgewichtsbedingung:

$ N - 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) = 0 $

Grund dafür ist, dass die Kiste in $y$-Richtung keine Änderung erfährt. Die Kiste bewegt sich nur entlang der $x$-Achse. Betrachtet man die $y$-Achse während die Kiste nach unten beschleunigt wird, so erkennt man, dass die Kiste bezüglich dieser ihre Position nicht ändert. Die Kiste befindet sich also in Bezug auf die $y$-Achse im statischen Gleichgewicht:

Geradlinige Bewegung

Die obige Gleichgewichtsbedingung kann nun nach $N$ aufgelöst werden:

$ N = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) = 84,96 N$.

Einsetzen in $v_x$:

$\scriptsize{v_x = \frac{1}{10 kg} \cdot [ \frac{1}{2} 50 \frac{N}{s} \cdot (3s)^2 - 0,3 \cdot 84,96 N \cdot 2s +  10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) \cdot 2s + 10 kg \cdot 20 \frac{m}{s} ]}$

Methode

$v_x = 47,21 \frac{m}{s}$

Newtonsche Grundgesetz

Das Newtonsche Grundgesetz ist gegeben durch:

$\sum F = ma$

In $x$-Richtung ergibt sich:

$\sum F_x = ma_x$

Berücksichtigung aller Kräfte die in $x$-Richtung auf die Kiste wirken:

$F - R + G_x = ma_x$

Einsetzen von $F = 50 \frac{N}{s} \cdot t$, $R = \mu \; N$ und $G_x = G \sin (30°)$:

$50 \frac{N}{s} t - \mu \; N + G \sin (30°) = ma_x$

Einsetzen von $G = mg = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}$,  $m = 10 kg$ und $\mu = 0,3$:

$50 \frac{N}{s} t - 0,3 \cdot N + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) = 10 kg \cdot a_x$

Auflösen nach $a_x$:

$a_x = \frac{1}{10kg} (50 \frac{N}{s} t - 0,3 \cdot N + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°))$

Bestimmung der Geschwindigkeit durch:

$a = \frac{dv}{dt} \; \; \; \; \rightarrow \; \int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a_x \; dt$

Einsetzen von $a_x$:

Auch hier muss wieder berücksichtigt werden, dass die Zugkraft von der Zeit abhängt und von $t_0 = 0$ bis $t_2$ integriert werden muss. Alle anderen Kräfte stellen konstanten dar und können sofort von $t_1 - t_2$ integriert werden:

$\int_{v_0}^v dv = \frac{1}{10kg} [ \int_{t_0}^{t_2} 50 \frac{N}{s} t - \int_{t_1}^{t_2} (0,3 \cdot N + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°))] \; dt$

Integration (wobei $t_0 = 0$):

$\small{v - v_0 = \frac{1}{10kg} [\frac{1}{2}50 \frac{N}{s} t_2^2 - 0,3 \cdot N \cdot (t_2 - t_1) + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) (t_2 - t_1)]}$

Auflösen nach $v$:

$\small{v = v_0 + \frac{1}{10kg} [\frac{1}{2}50 \frac{N}{s} t_2^2 - 0,3 \cdot N \cdot (t_2 - t_1) + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) (t_2 - t_1)]}$

Die Normalkraft $N$ kann aus der Betrachtung der $y$-Richtung bestimmt werden:

$\sum F_y = ma_y$

Die Kräfte, die in $y$-Richtung wirken sind die Normalkraft $N$ und die anteilige Gewichtskraft $G_y = G \cos (30°)$:

$N - G \cos (30°) = ma_y$

Die anteilige Gewichtskraft $G_y$ zeigt in Richtung der negativen $y$-Achse.

Die Beschleunigung erfolgt nur in $x$-Richtung, weswegen $a_y = 0$:

$N - G \cos (30°) = 0$

Es ergibt sich wieder:

$N = mg \cos (30°) = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) = 84,96 N$.

Einsetzen in $v$:

$\small{v = v_0 +  \frac{1}{10kg} [\frac{1}{2}50 \frac{N}{s} t_2^2 - 0,3 \cdot 84,96 N \cdot t_2 +  10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) t_2]}$

Einsetzen von $t_2 = 3s$, $t_2 - t_1 = 2s$ und $v_0 = 20 \frac{m}{s}$:

$\small{v = 20 \frac{m}{s} +  \frac{1}{10kg} [\frac{1}{2}50 \frac{N}{s} (3s)^2 - 0,3 \cdot 84,96 N \cdot 2s +  10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) 2s]}$

Methode

$v = 47,21 \frac{m}{s}$