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Technische Mechanik 3: Dynamik - Energiesatz

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Energiesatz

Besitzen die eingeprägten Kräfte $F^e$ ein Potential, so ist die von ihnen gleistete Arbeit unabhängig vom zurückgelegten Weg $dr$. Die geleistete Arbeit hängt dann nur vom Anfangs- und Endpunkt ab. Diese Kräfte nennt man konservative Kräfte.

Handelt es sich also um konservative Kräfte, so gilt der folgende Arbeitssatz für einen Massenpunkt zwischen zwei Bahnpunkten $0$ und $1$ (siehe Abschnitt: Potential, Energiesatz)

Methode

$W = -(E_{pot1} - E_{pot0})$   Arbeitssatz konservative Kräfte (Massenpunkt)

mit

$W = \int F^e \; dr$ 

$\sum E_{pot;i}$   Potentielle Energie


Bei einem Massenpunkt $m_i$ eines Massenpunktsystem müssen für die Arbeit $W_i$ nicht nur die äußeren eingeprägten Kräfte $F^e_i$ auf den Massenpunkt $m_i$, sondern ebenfalls die inneren eingeprägten Kräfte $f^e_i$ berücksichtigt werden. Für einen Massenpunkt $m_i$ eines Massenpunktsystem ergibt sich der Arbeitssatz bei Vorliegen von äußeren und inneren konservativen eingeprägten Kräften zwischen zwei Bahnpunkten $0$ und $1$ zu:

Methode

$W_i = -(E_{pot1;i} - E_{pot0;i}) $    Arbeitssatz konservative Kräfte (Massenpunkt $m_i$)

mit

$W_i = \int F^e_i \: dr_i +  \int f^e_i \; dr_i$   

$\sum E_{pot;i}$   Potentielle Kräfte


Die Abreit für das Massenpunktsystem ergibt sich dann aus der Summe der einzelnen Arbeiten der Massenpunkte innerhalb dieses Systems:

Methode

$\sum W_i = -(\sum E_{pot1;i} - \sum E_{pot0;i})$  Arbeitssatz konservative Kräfte (Massenpunktsystem)

mit

$\sum W_i = \sum \int F^e_i \: dr_i + \sum \int f^e_i \; dr_i$   

$\sum E_{pot;i}$   Potentielle Kräfte

$\\$

Merke

Kräfte mit Potentialen sind die Gewichtskraft und die Federkraft.

Die Gewichtskraft hat das Potential $E_{pot} = G \cdot z$. Dabei ist $z$ der Abstand von der Erdoberfläche bzw. eines Bezugsniveaus.

Die Federkraft hat das Potential $E_{pot} = \frac{cx^2}{2}$. Mit $c$ als Federkonstante und $x$ als Auslenkung. Alternativ: $E_{pot} = \frac{c_T \varphi}{2}$ mit $c_T$ als Federkonstante und $\varphi$ als Auslenkung.

Massenpunktsystem mit starren Bindungen

Sind die einzelnen Massenpunkte $m_i$ eines Massenpunktsystems durch starre Bindungen miteinander verknüpft, so heben sich die inneren Kräfte $f_i$ gegenseitig auf und die Arbeit verkürzt sich zu:

Methode

$\sum W_i = -(\sum E_{pot1;i} - \sum E_{pot0;i})$  Arbeitssatz konservative Kräfte (Massenpunktsystem)

mit

$\sum W_i = \sum \int F^e_i \: dr_i $

$\sum E_{pot;i}$   Potentielle Kräfte

Energiesatz

Setzt man nun den Arbeitssatz des Massenpunktsystems aus dem vorherigen Kapitel (Kräfte sind nicht konservativ)

$\sum W_i = \sum E_{kin1;i} - \sum E_{kin0;i}$

mit dem Arbeitssatz des Massenpunktsystems aus diesem Kapitel (Kräfte sind konservativ)

$\sum W_i = -(\sum E_{pot1;i} - \sum E_{pot0;i})$ 

gleich, so erhält man:

$\sum E_{kin1;i} - \sum E_{kin0;i} =  -(\sum E_{pot1;i} - \sum E_{pot0;i})$

Umstellen der Gleichung führt auf den Energiesatz des Massenpunktsystems:

Methode

$\sum E_{kin0;i} + \sum E_{pot0;i} = \sum E_{kin1;i} + \sum E_{pot1;i} $    Energiesatz

Dieser Satz besagt, dass die Summe aus kinetischer und potentieller Energie im Bahnpunkt $0$ gleich der Summe aus kinetischer und potentieller Energie im Bahnpunkt $1$ entpricht.

Merke

Beim Vorliegen von konservativen Kräften ist also die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant.

Anwendungsbeispiel: Energiesatz Massenpunktsystem

Beispiel Energiesatz Massenpunktsystem

Beispiel

Gegeben seien die obigen zwei Gewichte ($m_A = 20 kg$, $m_B = 5kg$), welche mit einem undehnbaren Seil miteinander verbunden sind. Das Gewicht $A$ wird aus der Ruheposition losgelassen. Das Seil und auch die Rollen seien massenlos. Wie groß ist die Geschwindigkeit $v^A_1$ in Abhängigkeit vom Weg $x^A_1$?

Zunächst wird das Freikörperbild gezeichnet:

Beispiel Energiesatz Massenpunktsystem Freikörperbild

In dem obigen Freikörperbild sind die Seilkräfte $S_1$ bis $S_3$ durch freischneiden des Seils angebracht worden. Dabei ist das Seil, welches die rechte Rolle hält unerheblich für die Berechnung, da dieses Seil immer konstant bleibt. Genau so sieht es auch mit dem Seil aus, an welchem das Gewicht $A$ hängt. Für die Bewegungsrichtung der einzelnen Gewichte $A$ und $B$ ist angenommen worden, dass sich $A$ nach unten bewegt und damit $B$ nach oben.

Wenn die postitve $x$-Achse nach unten gerichtet angenommen wird, folgt daraus, dass die Geschwindigkeit $v_A$ nach unten gerichtet und die Geschwindigkeit $v_B$ nach oben gerichtet ist. Da auf die betrachteten Gewichte $A$ und $B$ nur die jeweiligen Gewichtskräfte $G_A$ und $G_B$ wirken (keine äußeren Kräfte) und die Gewichtskraft ein Potential besitzt (konservativ ist), kann man hier auch den Energiesatz des Massenpunktsystem anwenden:

$\sum E_{kin0;i} + \sum E_{pot0;i} = \sum E_{kin1;i} + \sum E_{pot1;i} $  

Für die beiden Gewichte $A$ und $B$ gilt demnach:

$ (E_{kin0;A} + E_{kin0;B}) + (E_{pot0;A} + E_{pot0;B}) = (E_{kin1;A} + E_{kin1;A}) + (E_{pot1;A} + E_{pot1;B}) $  


Das Seil ist laut Aufgabenstellung undehnbar, d.h. also es liegt eine starre Bindung vor. Somit wird die Summe der kinetischen und potentiellen Energie nur aus den äußeren Kräften (also der Gewichtskraft) gebildet. Die inneren Kräfte heben sich gegenseitig auf, das bedeutet die kinetischen und potentiellen Energien der inneren Kräfte sind hier nicht zu berücksichtigen. Einsetzen der kinetischen und potentiellen Energien:

$(E_{kin0;A} + E_{kin0;B}) = 0$    Die Gewichte werden aus der Ruhe losgelassen, d.h. $v^A_0 = v^B_0 = 0$.

$(E_{pot0;A} + E_{pot0;B}) = 0$   Ausgangslage = Bezugsniveau. Der Abstand ist also $x^A_0 = x^B_0 = 0$.

 $(E_{kin1;A} + E_{kin1;A}) = \frac{m_A \; (v^A_1)^2}{2} + \frac{m_B \; (v^B_1)^2}{2}$

$(E_{pot1;A} + E_{pot1;B}) = -G_A \cdot x^A_1 + G_B \cdot x^B_1$

Die potentielle Energie einer Gewichtskraft $G$ ist: $G \cdot z$. $z$ ist dabei der Abstand von der Erdoberfläche bzw. der Abstand von einem bestimmten Bezugsniveau. In diesem Fall ist das Bezugsniveau die Ausgangslage der Gewichte. Da hier statt der $z$-Achse die $x$-Achse verwendet wird, gilt: $G \cdot x$. Die potentielle Energie des Gewichtes $A$ wird negativ gewählt, weil das Gewicht vom Bezugsniveau (Ausgangslange) nach unten fällt. Die potentielle Energie ist immer die Höhenenergie, d.h. je weiter oben vom Bezugsniveau, desto größer die potentielle Energie. Hier fällt dieser aber unterhalb des Bezugsniveaus und wird deswegen negativ.

Der Energiesatz lautet demnach:

Methode

$[\frac{m_A \; (v^A_1)^2}{2} + \frac{m_B \; (v^B_1)^2}{2}] + [ -G_A \cdot x^A_1 + G_B \cdot x^B_1] = 0$

Es muss als nächstes noch die kinematische Bindung berücksichtigt werden. Das Seil führt dazu, dass sich die beiden Gewichte nicht unabhängig voneinander bewegen. Wenn sich $A$ nach unten bewegt, dann bewegt sich $B$ nach oben und andersherum. Die Bewegungen sind also voneinander abhängig. Um zu zeigen, wie die Abhängigkeit gegeben ist, soll die folgende Grafik betrachtet werden:

Beispiel Energiesatz Massenpunktsystem

In der obigen Grafik wird beispielhaft gezeigt, dass wenn sich das Gewicht $B$ um 2 cm nach oben verschiebt, dann verschiebt sich das Gewicht $A$ um 1 cm nach unten. Grund dafür sind die beiden Seilstücke rechts und links von der linken Rolle. Die 2 cm Seilverschiebung nach oben bei Gewicht $B$ verteilen sich auf die beiden Seilstücke rechts und links von der linken Rolle. 

Die kinematische Beziehung lautet demnach:

$2x_A = x_B$

Einmaliges Ableiten führt auf die Geschwindigkeit:

$2 v_A = v_B$

Diese Beziehungen werden nun in den Energiesatz eingesetzt:

$[\frac{m_A \; (v^A_1)^2}{2} + \frac{m_B \; (-2v^A_1)^2}{2}] + [ -G_A \cdot x^A_1 + G_B \cdot -2x^A_1] = 0$

Aus dieser Gleichung kann zunächst die Geschwindigkeit $v^A_1$ in Abhängigkeit vom Weg $x^A_1$ bestimmt werden (auflösen nach $v^A_1$). Dabei ist $G_A = m_A \; g$ und $G_B = m_B \, g$:

Methode

$v^A_1 = \pm \sqrt{\frac{m_A \cdot g -  2 m_B \cdot g}{\frac{1}{2}m_A + 2 m_B} x^A_1}$

Das $\pm$ muss deswegen verwendet werden, weil man die angenommene Richtung (hier: $A$ nach unten, $B$ nach oben) zunächst einmal annimmt. Das muss am Ende nicht bedeuten, dass sich das Gewicht $A$ nach tatsächlich nach unten bewegt. Dies ist abhängig von dem Gewicht. Das soll nun demonstriert werden. Es werden zunächst die bekannten Werte eingesetzt:

$v^A_1 = \sqrt{\frac{20 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} - 2 \cdot 5 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{\frac{1}{2} 20 kg + 2 \cdot 5 kg} x^A_1}$


$v^A_1 = \sqrt{4,905 \frac{m}{s^2} \cdot x^A_1}$

In diesem Fall wird der Term $4,905$ positiv und es muss auch $x^A_1$ positiv werden, damit die gesamte Wurzel einen positiven Wert annimmt. Das bedeutet also, die angenommene Richtung ist korrekt und $A$ bewegt sich nach unten. Demnach gilt hier das positive Vorzeichen vor der Wurzel.


Es sollen nun die Gewichte vertauscht werden: $m_A = 5 kg$ und $m_B = 20 kg$. Einsetzen ergibt:

$v^A_1 = \sqrt{\frac{5 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} - 2 \cdot 20 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{\frac{1}{2} 5 kg + 2 \cdot 20 kg} x^A_1}$

$v^A_1 = \sqrt{-8,079 \frac{m}{s^2} \cdot x^A_1}$

In diesem Fall ist nun der Term $-8,079$ nagativ. Damit der gesamte Wert unter der Wurzel positiv wird, muss $x^A_1$ ebenfalls negativ sein. Das bedeutet also, dass die angenommene Richtung ($A$ bewegt sich nach oben) falsch ist. Bei dieser Gewichtsverteilung bewegt sich $A$ also nach unten und demnach $B$ nach oben. Hier muss also das negative Vorzeichen vor der Wurzel verwendet werden.