Elastischer Stoß

Handelt es sich um einen elastischen Stoß, so kehren die am Stoß beteiligten Körper wieder in ihren ursprünglichen Zustand zurück. Die Deformation während des Stoßes wird also vollständig zurückgebildet und die am Stoß beteiligten Körper bleiben als Einzelkörper bestehen.

Beispiel

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Treffen zum Beispiel zwei Fußbälle aufeinander, so handelt es sich um einen elastischen Stoß, weil beide Fußbälle nach dem Stoß wieder ihre ursprüngliche Form annehmen. 

Fußbälle, elastischer Stoß

Wenn wir wieder von zwei Körpern ausgehen, so gilt auch hier wieder der Impulserhaltungssatz: Die Summe der Impulse beider Körper vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse beider Körper nach dem Stoß. 

Die Geschwindigkeiten der beiden Körper sind vor und nach dem Stoß zu unterscheiden. Die Massen vor und nach dem Stoß verändern sich beim elastischen Stoß hingegen nicht.

Die obigen Gleichungen sind für zwei am Stoß beteiligten Körper in vektorieller Form beschrieben worden. Für den Spezialfall, dass sich zwei Körper gradlinig aufeinander zu bewegen gilt dann:

Energieerhaltungssatz beim Stoß

Wir betrachten nun zwei elastische Körper, die sich gradlinig aufeinander zubewegen und zusammenstoßen. Wir können nun auch den Energieerhaltungssatz heranziehen, um den Stoßprozess zu beschreiben. Hierzu wird die kinetische Energie verwendet, weil die beiden Körper sich horizontal annähern (also keine Änderung der potentiellen Energie vorliegt) und beide eine bestimmte Anfangsgeschwindigkeit aufweisen. Die kinetische Energie eines Körpers wird berechnet durch:

$E_{kin} = \frac{1}{2} m \; v^2$

Nach dem Energieerhaltungsatz gilt, dass Energie in einem abgeschlossenen System konstant bleibt:

Wir haben nun also auf der linken Seite des Gleichheitszeichens die Summe aus der kinetischen Energie vom Körper 1 und vom Körper 2. Diese Summe muss gleich der Summe der kinetischen Energie nach dem Stoß sein. Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens ist also die Summe der kinetischen Energien beider Körper nach dem Stoß beschrieben.

Betrachten wir nun beide Gleichungen, also einmal den obigen Impulserhaltungssatz und einmal den Energieerhaltungssatz.

(1) $m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v'_1 + m_2 \cdot v'_2$

(2) $\frac{1}{2} m_1 \; v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \; v_2^2 =  \frac{1}{2} m_1 \; v_1^{'2} + \frac{1}{2} m_2 \; v_2^{'2} $

Nach einigen Umformungen erhalten wir dann die Endgeschwindigkeiten:

Wichtig bei diesen Formelen ist, dass $v_1$ und $v_2$ in positive Koordinatenrichtung weisen. Bewegt sich ein Körper in Richtung der negativen Koordinatenachse, so muss die Geschwindigkeit mit einem negativen Vorzeichen versehen werden.

Anwendungsbeispiel: Elastischer Stoß

Beispiel: Elastischer Stoß zweier Klötze

1. Betrachtung der Energie

Wir betrachten zunächst die Feder und den 1. Klotz. Die Feder ist gespannt, weist also eine Spannenergie auf von:

Einsetzen der Werte:

$E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot 5.000 \frac{N}{m} \cdot (0,3 m)^2 = 225 J$    

Die Feder beginnt nun den Klotz wegzuschleudern. Die Feder überträgt dabei die Spannenergie auf den Klotz und wandelt diese in kinetische Energie um:

$E_{kin} = 225 J$

Wir müssen hier aber noch zusätzlich die Reibung zwischen Klotz und Ebene berücksichtigen. Der Klotz gleitet 6m über die Ebene bis dieser den 2. Klotz trifft. Für diese 6 m muss also die Reibungskraft von der kinetischen Energie abgezogen werden, weil durch die Reibung der Körper abgebremst wird und damit die kinetische Energie sinkt. Die Reibungsenergie wird wie folgt berechnet:

Dabei ist $R$ die Reibungskraft.

2. Reibungskraft bestimmen

Die Reibungskraft können wir bestimmen, indem wir den Klotz freischneiden und alle Kräfte die auf den Klotz wirken abtragen:

Freischnitt Klotz 1

Dabei ist $F$ die Federkraft, $R$ die Reibungskraft, $N$ die Normalkraft und $G$ die Gewichtskraft.

Wir stellen als nächstes das Newtonsche Grundgesetz in Komponentendarstellung auf:

$F_x = m a_x$          $F_y = m a_y$

Dabei ist $F_x$ die Summe aller Kräfte in $x$-Richtung und $F_y$ die Summe aller Kräfte in $y$-Richtung.

Die Reibungskraft ist definiert zu:

$R = \mu N$

Da $\mu = 0,5$ in der Aufgabenstellung gegeben ist, benötigen wir noch die Normalkraft $N$. Diese können wir aus dem Newtonschen Grundgesetz in $y$-Richtung bestimmen:

$F_y = N - G$           Summe der Kräfte in $y$-Richtung

$N - G = m a_y$          

Dabei ist $a_y = 0$, weil keine Bewegung in $y$-Richtung vorliegt. 

$N - G = 0$

$N = G = mg = 3kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 29,43 N$

Wir können nun die Reibungskraft bestimmen:

$R = 0,5 \cdot 29,43 N = 14,72 N$

Die Reibungsenergie beträgt dann:

$E_{reib} = R \cdot s = 14,72 N \cdot 6m = 88,32 J$.

Das bedeutet, dass 88,32 J der kinetischen Energie in Reibungsenergie umgewandelt werden.

Wir interessieren uns für die kinetische Energie kurz vor dem Stoß mit dem 2. Klotz, also nach dem Weg von 6m. Dazu müssen wir als nächstes die Reibungsenergie von der gesamten kinetischen Energie abziehen:

$E_{kin} = E_{kin} - E_{reib} = 225 J - 88,32 J = 136,68 J$

Die kinetische Energie in Höhe von 136,68 J weist der 1. Klotz unmittelbar vor dem Zusammenstoß mit dem 2. Klotz auf.

Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen

Wir benötigen als nächstes die Anfangsgeschwindigkeit des 1. und 2. Klotzes um die Endgeschwindigkeiten beider Klötze bestimmen zu können.

Die Anfangsgeschwindigkeit des 1. Klotzes kann aus der kinetischen Energie unmittelbar vor dem Stoß bestimmt werden:

$E_{kin} = \frac{1}{2} m v_1^2 = 136,68 J$

Auflösen nach $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{136,68 J \cdot 2}{m}} = \sqrt{\frac{136,68 J \cdot 2}{3 kg}}  = 9,55 \frac{m}{s}$

Die Anfangsgeschwindigkeit des 2. Klotzes ist $v_2 = 0$, weil dieser ruht.

Endgeschwindigkeiten bestimmen

Die Endgeschwindigkeiten können nun anhand der obigen Formeln bestimmt werden:

$v'_1 = \frac{2 \cdot m_2 \cdot v_2 + (m_1 - m_2) \cdot v_1}{m_1 + m_2}$

$v'_2 = \frac{2 \cdot m_1 \cdot v_1 + (m_2 - m_1) \cdot v_2}{m_1 + m_2}$

Einsetzen der Werte:

$v'_1 = \frac{(3kg - 5kg) \cdot 9,55 \frac{m}{s}}{3kg + 5kg} = -2,39 \frac{m}{s}$

$v'_2 = \frac{2 \cdot 3kg \cdot 9,55 \frac{m}{s} }{3kg + 5kg} = 7,16 \frac{m}{s}$

Der Klotz 1 weist eine negative Geschwindigkeit auf. Das bedeutet, dass sich der Klotz entgegen der angenommenen Richtung bewegt. Der Klotz hat sich nach rechts bewegt (vor dem Stoß) und die Anfangsgeschwindigkeit wurde positiv in die Gleichung eingetragen, also sind wir von einer Bewegung nach rechts ausgegangen. Da nun eine negative Geschwindigkeit resultiert, bewegt sich der Klotz nach dem Stoß nach links. Der 2. Klotz wird durch den Zusammenstoß nach rechts gestoßen.

Wegdifferenz bestimmen

Wir wollen als nächstes herausfinden in welchem Abstand beide Klötze voneinander zum Stehen kommen. Aufgrund der Reibung der Klötze mit dem Boden, werden beide irgendwann bis zum Stillstand gebremst. Auch hier gilt wieder die Reibungsenergie zu bestimmen:

$E_{reib;1} = R_1 \cdot s_1$

$E_{reib;2} = R_2 \cdot s_2$

Die Reibungskraft für den 1. Klotz haben wir bereits bestimmt und es ergibt sich eine Reibungsenergie:

Wir benötigen noch die Reibungskraft des 2. Klotzes. Auch dieser wird wieder freigeschnitten. Aus dem Newtonschen Grundgesetz in $y$-Richtung mit $a_y = 0$ erhalten wir dann die Normalkraft:

$N = G = mg = 5 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 49,05 N$

$R_2 = 0,5 \cdot 49,05 N = 24,53 N$

Die Reibungsenergie des 2. Klotzes beträgt also:

Die beiden Klötzen weisen nach dem Stoß die Endgeschwindigkeiten $v'_1$ und $v'_2$ auf. Wir können also die kinetische Energie beider Klötze nach dem Stoß bestimmen:

$E_{kin;1} = \frac{1}{2} \cdot 3kg \cdot (2,39  \frac{m}{s})^2 = 8,57 J$

$E_{kin;2} = \frac{1}{2} \cdot 5kg \cdot (7,16 \frac{m}{s})^2 = 128,16 J$

Dieses mal wird die gesamte kinetische Energie in Reibungsenergie umgewandelt, weil die Klötze bis zum Stillstand gebremst werden:

$E_{reib;1} = E_{kin;1}$

$E_{reib;2} = E_{kin;2}$

Einsetzen in die Reibunsgenergie:

$8,57 J  = 14,72 N \cdot s_1$

$128,16 J = 24,53 N \cdot s_2$

Und auflösen nach $s$:

$s_1 = \frac{8,57 J}{14,72 N} = 0,58 m$

$s_2 = \frac{128,16 J}{24,53 N} = 5,22 m$

Der Klotz 1 bewegt sich also nach dem Stoß 0,58 m nach links, der Klotz 2 nach dem Stoß 5,22 m nach rechts. Dann bleiben beiden liegen. Der Abstand beider Klötze beträgt demnach:

$s = s_1 + s_2 = 0,58 m + 5,22 m = 5,8 m$.

Anwendungsbeispiel: Zentraler elastischer Stoß

Beispiel

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Wir betrachten zwei Waggons einer Modelleisenbahn. Der erste Waggon mit der Masse $m_1 = 500 g$ stößt elastisch mit der Geschwindigkeit $v_1 = 4 \frac{m}{s}$ auf den zweiten Waggon mit der Masse $m_2 = 1000 g$. Der zweite Waggon bewegt sich bis zum Zusammenstoß nicht, er ruht also.

Wir berechnen nun die Geschwindigkeit der beiden Waggons nach dem Stoß. Außerdem ermitteln wir, in welche Richtung sich die Waggons nach dem Zusammenstoß bewegen.

Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass der zweite Waggon sich vor dem Stoß nicht bewegt, d.h. seine Geschwindigkeit $v_2 = 0 \frac{m}{s}$. Da es sich darüber hinaus, um einen elastischen Stoß handelt, haben beide Waggons nach dem Zusammenstoß eine andere Geschwindigkeit.

$v_1' \neq v_2'$

Wir können also die Formeln für die Endgeschwindigkeit beider Körper anwenden, wobei $v_2 = 0$:

$v'_1 = \frac{ (0,5 kg - 1 kg) \cdot 4 \frac{m}{s}}{0,5 kg + 1 kg} = -1,33 \frac{m}{s}$

$v'_2 = \frac{2 \cdot 0,5 kg \cdot 4 \frac{m}{s}}{0,5 kg + 1 kg} = 2,67 \frac{m}{s}$

Wir nehmen die Geschwindigkeit nach rechts gerichtet positiv an. Deswegen wird $v_1 = 4 \frac{m}{s}$ positiv in die Gleichungen eingesetzt. Es resultiert für den 1. Waggon eine negative Endgeschwindigkeit. Das bedeutet also, dass sich dieser nach dem Stoß nach links bewegt.

Der Waggon 2 hingegen bewegt sich nach dem Stoß nach rechts in positive Richtung.

Wie man auf die obigen Geschwindigkeiten ohne die Formel zu kennen gelangt, wird im Nachfolgenden ausführlich erläutert:

Wir beginnen mit dem Impulssatz:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m1 v_1' + m_2 v_2'$     | $v_2 = 0$

$m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$     |Einsetzen der Werte

$500 g \cdot 4 \frac{m}{s} = 500 g \cdot v_1' + 1000 g \cdot v_2'$     |:$500 g$

$4 \frac{m}{s} = v_1' + 2v_2'$     (1)

Wir nehmen darüber hinaus an, dass keinerlei Reibungskräfte auf die Waggons wirken. Ihre Gesamtenergie bleibt somit konstant. Wir können also den Energieerhaltungssatz anwenden. Da sich beide Waggons auf einer horizontalen Ebene befinden, betrachten wir ausschließlich die kinetische Energie ($E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2$), da keine Änderung der potenziellen Energie vorliegt ($E_{pot} = 0$).

$\frac {1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac {1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2$     |$v_2 = 0$

$\frac {1}{2} m_1 v_1^2 = \frac {1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2$     |Einsetzen der Werte

$\frac {1}{2} 500 g (4\frac{m}{s})^2 = \frac {1}{2} 500 g v_1'^2 + \frac{1}{2} 1000 g v_2'^2$     |:$500 g$

$\frac {1}{2} 16\frac{m^2}{s^2} = \frac {1}{2} v_1'^2 + \frac{1}{2} 2 v_2'^2$

$8 \frac{m^2}{s^2} = \frac {1}{2} v_1'^2 + v_2'^2$     (2)

(1) nach $v_1'$ umformen und in (2) einsetzen

$4 \frac{m}{s} = v_1' + 2v_2'$     |$-2v_2'$

$v_1' = 4 \frac{m}{s} - 2v_2'$     (3)

(3) in (2) einsetzen

$8 \frac{m^2}{s^2} = \frac {1}{2} (4 \frac{m}{s} - 2v_2')^2 + v_2'^2$

Auflösen der Klammer: $(4 \frac{m}{s} - 2v_2')^2$

$(4 \frac{m}{s} - 2v_2')(4 \frac{m}{s} - 2v_2')$

$16 \frac{m^2}{s^2} - 16 \frac{m}{s}v_2' + 4v_2'^2$

Daraus ergibt sich:

$8 \frac{m^2}{s^2} = \frac {1}{2} (16 \frac{m^2}{s^2} - 16 \frac{m}{s} v_2' + 4v_2'^2) + v_2'^2$

$8 \frac{m^2}{s^2} = 8 \frac{m^2}{s^2} - 8 \frac{m}{s} v_2' + 2v_2'^2 + v_2'^2$

$8 \frac{m^2}{s^2} = 8 \frac{m^2}{s^2} - 8 \frac{m}{s} v_2' + 3v_2'^2$     |$-8 \frac{m^2}{s^2}$

$0 = - 8 \frac{m}{s} v_2' + 3v_2'^2$     |$+8 \frac{m}{s} v_2'$

$8 \frac{m}{s} v_2' = 3v_2'^2$     |:$v_2'$

$8 \frac{m}{s} = 3v_2'$     |:3

$v_2' = 2,67 \frac{m}{2}$

Der zweite Waggon bewegt sich nach dem Zusammenstoß mit der Geschwindigkeit $v_2' = 2,67 \frac{m}{s}$ in die Richtung des Stoßes.

Nun ermitteln die Geschwindigkeit $v_1'$ des ersten Waggons und dessen Bewegungsrichtung nach dem Zusammenstoß.

Hierzu setzen wir $v_2'$ in (3) ein:

$v_1' = 4 \frac{m}{s} - 2 \cdot 2,67 \frac {m}{s}$

$v_1' = -1,33 \frac{m}{s}$

Anhand der negativen Geschwindigkeit des ersten Waggons erkennen wir, dass dieser sich nach dem Zusammenstoß in die Gegenrichtung bewegt.