Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung

In diesem Abschnitt soll ein Beispiel für die Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung aufgezeigt werden. 

Bestimmung der Auflagerreaktionen

Zunächst werden die Auflagerreaktionen bestimmt, indem der Balken von außen freigeschnitten wird:

Es werden die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene angewandt:

$\uparrow : A_v - F = 0$

$A_v = F = 150 N$

$\rightarrow: A_h = 0$

$\curvearrowleft:  M_A - F \cdot 10m = 0$

$M_A = 150 N \cdot 10 m = 1.500 Nm$.

Zusammenfassend:

Schnitt durchführen

Der Schnitt soll laut Aufgabenstellung an der Stelle $x = 3m$ durchgeführt werden. Es wird im Weiteren das linke Schnittufer betrachtet:

An dem linken Schnittufer zeigen die Kräfte in positive Achsenrichtung. Die Normalkraft zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft in positive $z$-Richtung und das Moment erfolgt in einer Linksdrehung (positive Drehrichtung) um die $y$-Achse.

Es können nun die Schnittgrößen mittels Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden:

$\uparrow: -Q + A_v = 0$

$Q = A_v = 150N$

$\rightarrow: N = 0$

$\curvearrowleft : M + M_A - A_v \cdot 3m = 0$

$M = -M_A + A_v \cdot 3m $

$M = -1.500 Nm + 150 N \cdot 3m = -1.050 Nm$.

Das Biegemoment ist nicht über den gesamten Balken konstant. Es ist abhängig davon, wo der Schnitt durchgeführt ist. Je weiter der Schnitt rechts liegt, desto größer ist das Biegemoment. Dies wird deutlich an der Auflagerkraft $A_v$, dessen Hebelarm vom Schnitt abhängig ist. Außerdem treten Querkräfte auf. Wird der Schnitt nicht angegeben, so ergibt sich das Biegemoment durch:

$M = -1.500 Nm + 150 N \cdot x$ 

Aus der Ableitung des Biegemoments nach $x$, kann die Querkraft berechnet werden: 

$\frac{dM}{dx} = Q  = 150 N$.

Maximale Normalspannung und Schubspannung

Nachdem nun die Schnittgrößen bestimmt worden sind, können als nächstes die dort auftretenden Normalspannungen und Schubspannungen bestimmt werden.

Die Normalspannung bei einachsiger Querkraftbiegung an einer bestimmten Stelle $z$ im Querschnitt wird bestimmt durch:

Zur Berechnung muss noch das Flächenträgheitsmoment herangezogen werden. Für einen rechteckigen Querschnitt ergibt sich allgemein:

$I_y = \frac{0,25 \cdot 0,75^3}{12} = 0,00879 m^4$

Außerdem muss für die maximale Normalspannung der größte Abstand von der neutralen Faser (verläuft durch den Schwerpunkt) hin zum Rand berücksichtigt werden. Da der Schwerpunkt mittig liegt, ist der Abstand von der neutralen Faser zum oberen und unteren Rand gleich. Dieser liegt bei $z_{max} = 0,375 m$. Maximum und Minimum stimmen demnach überein. Da das Biegemoment negativ ist, muss die Gleichung mit -1 multipliziert werden, um das Maximum zu erhalten:

$\sigma_x = -\frac{-1.050 Nm}{0,00879 m^4} \cdot 0,375 m$

Als nächstes soll die maximale Schubspannung bestimmt werden. Die Gleichung für die Schubspannung an einer bestimmten Stelle $z$ im Querschnitt lautet:

Dabei ist $Q_z$ die bereits errechnete Querkraft für den Schnitt bei $x = 3m$:

$Q = 150 N$.

Das Flächenträgheitsmoment bezüglich der $y$-Achse ist ebenfalls bekannt:

$I_y = \frac{0,25 \cdot 0,75^3}{12} = 0,00879 m^4$

$b(z)$ ist die Breite des Querschnitts. Die Breite ändert sich in $z$-Richtung nicht, d.h. diese ist für den betrachteten Querschnitt konstant, also $b(z) = b = 0,25m$.

Es muss nun noch die Integration stattfinden. Integriert wird von einem ausgewählten $z$, für welchen die Schubspannung bestimmt werden soll bis zum Maximum $z_{max}$ in Richtung der positiven $z$-Achse. Also bis zum unteren Rand des Querschnitts. Das Maximum der Schubspannung findet sich in der Profilmitte, also bei $z = 0$ ($z$-Achse beginnt im Schwerpunkt, also in der Profilmitte). Das bedeutet also, dass die Integration bei $z= 0$ beginnt und bis $z_{max} = \frac{0,75m}{2} = 0,375m$ integriert wird. Die Breite $b_{\eta}$ betrachtet diesen Bereich, auch hier ist die Breite konstant, weshalb $b_{\eta} = b = 0,25m$:

$\tau(z) = \frac{150 N}{0,25m  \cdot 0,00879 m^4} \int_0^{0,375m}  0,25m \cdot \eta \;  d\eta$  

Integrieren führt zu:

$\tau_{max} = \frac{150 N}{0,25m  \cdot 0,00879 m^4} \cdot  0,25m \cdot [ \frac{1}{2}\eta^2]_0^{0,375m}$  

$\tau_{max} = \frac{150 N}{0,25m  \cdot 0,00879 m^4}  \cdot  0,25m \cdot [\frac{1}{2}(0,375 m)^2 - \frac{1}{2}0^2]$

 $\tau_{max}= \frac{150 N}{0,25m  \cdot 0,00879 m^4}  \cdot  0,25m \cdot \frac{1}{2}(0,375 m)^2$

 $\tau_{max} = \frac{150 N}{0,25m  \cdot 0,00879 m^4}  \cdot  0,0176 m^3$