Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt soll die einachsige QuerkraftBiegung veranschaulicht werden. Im Gegensatz zur reinen Biegung wirkt bei der Querkraftbiegung eine äußere Querkraft auf den Balken. Die Belastung findet in der $x,z$-Ebene statt. Das bedeutet, dass ein Moment um die $y$-Achse auftritt und zusätzlich eine Querkraft berücksichtigt werden muss.
Merke
Bei der Querkraftbiegung ist im Gegensatz zur reinen Biegung das Schnittmoment nicht konstant und somit veränderlich.
Aus der Statik ist bekannt, dass $M'(x) = Q(x) $ und daher gilt hier:
Methode
$M \not= const \; \rightarrow \; M'(x) \not= 0 \; \rightarrow \; Q(x) \not= 0$.
Es liegen nun zwei Schnittreaktionen vor:
1. Biegemoment,
2. Querkraft
und infolgedessen kommt es auch zum Auftreten von Schubspannungen $\tau$ im Querschnitt.
In diesem Fall haben die Schubspannungen folgende Eigenschaften:
1. Nicht gleichförmig über den Querschnitt verteilt.
2. Am oberen Rand gleich null.
3. Am unteren Rand gleich null.
4. Am Rand existiert keine äußere Schubbelastung.
5. Das Maximum der Schubspannung findet sich im Bereich der neutralen Faser.
6. Verändert sich die Schubspannung, so muss sich auch die Gleitung ändern [Hookesches Gesetz].
7. Infolge der Schubspannungen kommt es zur Querschnittswölbung im Zusammenhang mit der Querkraftbiegung.
Merke
Dehnung
Die Dehnung in $x$-Richtung infolge des Biegemoments äußert sich formal durch:
$\epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x }$
$ u = \text{Verschiebung in x-Richtung} $
Der Zusammenhang zwischen der Verschiebung $u$ und der Drehung des Querschnitts ist gegeben durch:
$ u = \varphi \cdot z $
$\varphi = \text{Neigungswinkel} $
Setzt man nun den Term für $u$ ein, so erhält man für die Dehnung:
Methode
$\epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x } = z \frac{\partial \varphi}{\partial x } = z \varphi' $ Dehnung
Verschiebung
Die Verschiebung in $z$-Richtung, also die Absenkung des Balkens, wird durch $ w $ ausgedrückt. Es wird angenommen, dass alle Elemente des Balkenquerschnitts eine identische Verschiebung $ w $ erfahren. Diese Annahme wird schließlich in der Schubverformung berücksichtigt. Wie bereits bekannt ist, wirken Verschiebungen immer in zwei Koordinatenrichtungen, daher gilt:
$\gamma = \gamma_{xz} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u }{\partial z} $
Fasst man diese Gleichung erneut zusammen, erhält man für die Schubverformung:
Methode
Beachtet man die kinematischen Zusammenhänge und das Hookesche Gesetz, so lässt sich die Normal- und Schubspannung letztlich formulieren durch:
Methode
$\sigma_x = E \epsilon_x = E \varphi' z $ Normalspannung
$\tau = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $ Schubspannung
Relation zwischen Schnittmoment und Normalspannung
Um nun die Normalspannungen bei Querkraftbiegung aus den Schnittgrößen bestimmen zu können, betrachtet man das Biegemoment $M_y$. Auch hier gilt (wie bereits im Abschnitt über die reine Biegung aufgeführt):
$M_y = \int \sigma_x \cdot z \; dA$
Einsetzen der Gleichung $\sigma_x = E \varphi' z $
$M_y = \int E \varphi' z^2 \; dA$
Ausgehend von einem konstanten E-Modul ergibt sich dann:
$M_y = E \int \varphi' z^2 \; dA$
Mit $I_y = z^2 \; dA$:
$M_y = E \varphi' I_y$
Diese Gleichung nach $E \varphi'$ auflösen und einsetzen in die Gleichung $\sigma_x = E \varphi' z $ :
Methode
$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} z $ Normalspannung bei einachsiger Querkraftbiegung
Es ergibt sich die gleiche Beziehung wie bei der reinen Biegung. Es gelten demnach für die Querkraftbiegung alle anderen Zusammenhänge:
Methode
Maximale Spannung: $\sigma_{max} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_1 $
Minimale Spannung: $\sigma_{min} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_2 $
Widerstandsmoment: $W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$
Zulässige Normalspannung: $\sigma_{zul} \ge \frac{|M_y|}{W_b}$
Schubspannungen
Der Unterschied zur reinen Biegung liegt darin, dass zusätzlich Schubspannungen auftreten. Es soll hierbei auf die Herleitung verzichtet werden und nur die Formel für die Berechnung der Schubspannung aufgeführt werden. Die Schubspannung an einer Stelle $z$ ergibt sich dann zu:
Methode
$\tau(z) = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_z^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$
mit
$Q(z)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt
$b(z)$ Breite des Balkens, für konstante Breite ergibt sich: $b = const$.
$I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $y$-Achse
$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.
Die maximale Schubspannung befindet sich in der Profilmitte bei $z = 0$. Das bedeutet also:
Methode
$\tau_{max} = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_{z = 0}^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$
Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie bei einer einachsigen Querkraftbiegung die Normalspannung und die Schubspannung bestimmt werden.
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Hookesches Gesetz
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Hookesches Gesetz (Stabbeanspruchungen) aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 2: Elastostatik interessant.
-
Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung (Balkenbiegung) aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 2: Elastostatik interessant.
