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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Querkraftbiegung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Querkraftbiegung

In diesem Abschnitt soll die einachsige QuerkraftBiegung veranschaulicht werden. Im Gegensatz zur reinen Biegung wirkt bei der Querkraftbiegung eine äußere Querkraft auf den Balken. Die Belastung findet in der $x,z$-Ebene statt. Das bedeutet, dass ein Moment um die $y$-Achse auftritt und zusätzlich eine Querkraft berücksichtigt werden muss. 

Merke

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Bei der Querkraftbiegung ist im Gegensatz zur reinen Biegung das Schnittmoment nicht konstant und somit veränderlich.


Aus der Statik ist bekannt, dass $M'(x) = Q(x) $ und daher gilt hier:

Methode

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$M \not= const \; \rightarrow \; M'(x) \not= 0 \; \rightarrow \;  Q(x) \not= 0$.

Es liegen nun zwei Schnittreaktionen vor:

1. Biegemoment,

2. Querkraft

und infolgedessen kommt es auch zum Auftreten von Schubspannungen $\tau$ im Querschnitt. 

In diesem Fall haben die Schubspannungen folgende Eigenschaften: 

1. Nicht gleichförmig über den Querschnitt verteilt.

2. Am oberen Rand gleich null.

3. Am unteren Rand gleich null.

4. Am Rand existiert keine äußere Schubbelastung.

5. Das Maximum der Schubspannung findet sich im Bereich der neutralen Faser.

6. Verändert sich die Schubspannung, so muss sich auch die Gleitung ändern [Hookesches Gesetz].

7. Infolge der Schubspannungen kommt es zur Querschnittswölbung im Zusammenhang mit der Querkraftbiegung. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Der siebte Punkt birgt jedoch ein Problem. Er besagt, dass die Bernoullische Hypothese nicht mehr gilt, wodurch es sehr kompliziert wird die Gleitung zu berechnen. Daher wird weiterhin angenommen, dass bei der Querkraftbiegung die Querschnitte eben bleiben.
Verschiebung und Dehnung
Verschiebung und Dehnung

Dehnung


Die Dehnung in $x$-Richtung infolge des Biegemoments äußert sich formal durch:

$\epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x }$

$ u = \text{Verschiebung in x-Richtung} $

Der Zusammenhang zwischen der Verschiebung $u$ und der Drehung des Querschnitts ist gegeben durch:

$ u = \varphi \cdot z $

$\varphi = \text{Neigungswinkel} $

Setzt man nun den Term für $u$ ein, so erhält man für die Dehnung:

Methode

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$\epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x } = z \frac{\partial \varphi}{\partial x } = z \varphi' $              Dehnung   

Verschiebung

Die Verschiebung in $z$-Richtung, also die Absenkung des Balkens, wird durch $ w $ ausgedrückt. Es wird angenommen, dass alle Elemente des Balkenquerschnitts eine identische Verschiebung $ w $ erfahren. Diese Annahme wird schließlich in der Schubverformung berücksichtigt. Wie bereits bekannt ist, wirken Verschiebungen immer in zwei Koordinatenrichtungen, daher gilt:

$\gamma = \gamma_{xz} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u }{\partial z} $ 

Fasst man diese Gleichung erneut zusammen, erhält man für die Schubverformung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\gamma = w' + \varphi $                                                     Schubverformung
Schubverformung
Schubverformung

Beachtet man die kinematischen Zusammenhänge und das Hookesche Gesetz, so lässt sich die Normal- und Schubspannung letztlich formulieren durch: 

Methode

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$\sigma_x = E \epsilon_x = E \varphi' z $                                           Normalspannung

$\tau = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $                                       Schubspannung

Relation zwischen Schnittmoment und Normalspannung

Um nun die Normalspannungen bei Querkraftbiegung aus den Schnittgrößen bestimmen zu können, betrachtet man das Biegemoment $M_y$. Auch hier gilt (wie bereits im Abschnitt über die reine Biegung aufgeführt):

$M_y = \int \sigma_x \cdot z \; dA$

Einsetzen der Gleichung $\sigma_x = E \varphi' z $  

$M_y = \int  E \varphi' z^2 \; dA$

Ausgehend von einem konstanten E-Modul ergibt sich dann:

$M_y = E \int  \varphi' z^2 \; dA$

Mit $I_y = z^2 \; dA$:

$M_y = E  \varphi' I_y$

Diese Gleichung nach $E \varphi'$ auflösen und einsetzen in die Gleichung $\sigma_x = E \varphi' z $  :

Methode

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$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} z $          Normalspannung bei einachsiger Querkraftbiegung


Es ergibt sich die gleiche Beziehung wie bei der reinen Biegung. Es gelten demnach für die Querkraftbiegung alle anderen Zusammenhänge:

Methode

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Maximale Spannung: $\sigma_{max} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_1 $

Minimale Spannung: $\sigma_{min} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_2 $ 

Widerstandsmoment: $W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$  

Zulässige Normalspannung: $\sigma_{zul} \ge \frac{|M_y|}{W_b}$                                   

Schubspannungen

Der Unterschied zur reinen Biegung liegt darin, dass zusätzlich Schubspannungen auftreten. Es soll hierbei auf die Herleitung verzichtet werden und nur die Formel für die Berechnung der Schubspannung aufgeführt werden. Die Schubspannung an einer Stelle $z$ ergibt sich dann zu:

Methode

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$\tau(z) = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_z^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$

mit

$Q(z)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt

$b(z)$ Breite des Balkens, für konstante Breite ergibt sich: $b = const$.

$I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $y$-Achse

$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.


Die maximale Schubspannung befindet sich in der Profilmitte bei $z = 0$. Das bedeutet also:

Methode

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$\tau_{max} = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_{z = 0}^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$

Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie bei einer einachsigen Querkraftbiegung die Normalspannung und die Schubspannung bestimmt werden.