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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Gesamtkrümmung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Gesamtkrümmung

Wir wollen uns als nächstes die Krümmung näher anschauen. Aus dem vorherigen Abschnitt haben wir die Krümmung bestimmt zu:

Methode

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$ \kappa = \frac{1}{p} = \frac{d\varphi}{dx} = \varphi' $                Krümmung


Setzen wir nun die lineare Dehnungsverteilung $ \epsilon_x = \frac{z}{p} $  in das Hookesche Gesetz ein $\sigma_x = E \cdot \epsilon_x $ so erhalten wir:   

$\frac{z}{p} = \frac{\sigma_x}{E}$ 

 
Auflösen nach $\frac{1}{p}$ und einsetzen von $\kappa = \frac{1}{p}$ ergibt sich dann:

$\kappa = \frac{\sigma_x}{E z}$

 
Mit Einsetzen der linearen Spannungsverteilung $\sigma_x = \frac{M_y}{I_{y}} z$ erhalten wir dann die Krümmung in Abhängigkeit vom Moment:

Methode

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$\kappa_M = \frac{M_y}{E I_{y}}$


Biegemoment $M_y$ und Krümmung $\kappa_M$ sind proportional zueinander. Der Proportionalitätsfaktor ist die Biegesteifigkeit $EI$.

Dabei ist $\kappa_M$ die Krümmung infolge des auftretenden Biegemoments $M$.

Krümmung infolge Temperaturdifferenz

Tritt zusätzlich zur reinen Biegung eine Temperaturdifferenz $\triangle T$ auf, so wird zwischen oberer und unterer Balkenseite ein zusätzlicher Krümmungsanteil erzeugt. 

In der folgenden Grafik sei der Temperaturverlauf eines Balkens gegeben. Die Ausgangstemperatur $T_0$ befindet sich dabei auf der Schwereachse. Am oberen Rand herrscht die Temperatur $T_o$ und am unteren Rand die Temperatur $T_u$. Die Höhe des Balkens betrage $h$:

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Temperaturverlauf am Balken

 

Der Temperaturverlauf kann näherungsweise als linear angenommen und in zwei Teile zerlegt werden:

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Zerlegung des Temperaturverlaufs

 

In der obigen Grafik ist der Temperaturverlauf in zwei Tele zerlegt worden. Diese beiden Anteile werden miteinander addiert und es resultiert wieder der Ausgangsverlauf.

Aufgrund der Temperaturdifferenz $\triangle T$ erfolgt eine konstante Dehnung im gesamten Querschnitt. Wir haben diesen Zusammenhang bereits im Abschnitt thermische Dehnung / Gesamtdehnung behandelt:

$\epsilon_{th} = \alpha_{th}\; \triangle T $

In Abhängigkeit von $z$ ergibt sich:

$\epsilon_{th} (z) = \alpha_{th}\;  T(z) $

Der lineare Temperaturverlauf $T(z)$ ist gegeben zu:

$T(z) = \frac{\triangle T}{h} z$

Einsetzen ergibt:

$\epsilon_{th} (z) = \alpha_{th}\;  \frac{\triangle T}{h} \cdot z $

Auf Höhe der Schwereachse (z = 0) ist die lineare Anteil der Dehnung gleich Null.

Wir betrachten als nächstes die Dehnung mit $\epsilon = \frac{z}{p} $ und Krümmung $\kappa = \frac{1}{p}$ und setzen die Krümmung in die Dehnung ein:

$\epsilon = \kappa \cdot z $

Auflösen nach $\kappa$ und einsetzen der Dehnung $\epsilon = \epsilon_{th}$ infolge einer Temperaturänderung ergibt:

Methode

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$\kappa_T = \frac{\epsilon}{z} = \alpha_{th}\; \frac{\triangle T}{h} $       Krümmung infolge Temperaturänderung


Die gesamte Krümmung ergibt sich aus der Krümmung aufgrund der reinen Biegung und der Krümmung infolge einer Temperaturänderung zu:

Methode

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$\kappa = \kappa_M + \kappa_T = \frac{M_y}{EI_{yy}} + \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$