Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen

In der bisherigen Annahme wurde immer davon ausgegangen, dass es sich bei der Bestimmung der Flächenträgheitsmomente um einteilige Flächen handelt. In der Praxis ist es jedoch häufig der Fall, dass Flächen aus zwei oder unzähligen Einzelflächen zusammengesetzt sind, sei es durch Klebung, Verschraubung oder etwaiges. Liegt eine besondere geometrische Figur vor, beispielsweise ein aus zwei Flächen bestehender Winkel oder ein aus vier Flächen bestehender Rahmen, empfiehlt es sich den "Gesamt"- Flächenträgheitsmoment der geometrischen Figur durch die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente der Teilflächen zu berechnen. Dabei entspricht das "Gesamt"- Flächenträgheitsmoment der Summe der Flächenträgheitsmomente der Teilflächen.

In diesem Abschnitt wird die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente bei zusammengesetzten Flächen mit Hilfe der Steinerschen Sätze beschrieben. Es erfolgt zunächst die Beschreibung der Vorgehensweise und danach ein ausführliches Beispiel.

Flächenträgheitsmoment für mehrere Flächen

Satz von Steiner - zusammengesetzte Flächen

Besteht eine Fläche aus mehreren Teilflächen $A_i$, so können die Flächen dieser miteinander addiert werden. Für zwei Teilflächen, die sich auf das $y, z$-Koordinatensystem beziehen, gilt:

$ A_{ges} = A_1 + A_2 $

Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt. 

Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen:

$\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $ 

Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezogen auf den eigenen Flächenschwerpunkt

Häufig tritt das Problem auf, dass die Flächenträgheitsmomente der Teilflächen $ A_i $ nur für ein sich auf den eigenen Flächenschwerpunkt $ S_i $ beziehendes Achsensystem vorliegen. In diesem Fall ist folgende Vorgehensweise zu empfehlen:

1. Für alle Teilflächen müssen die Koordinaten $ y_{S_i}^*, z_{S_i}^* $ der Schwerpunkte $ S_i $ der Teilflächen im $y^*-z^*-$ Bezugssystem bestimmt werden.

2. Anschließend gilt es alle Flächenträgheitsmomente $ (I_{y})_i, (I_{z})_i, (I_{yz})_i $ für die Schwerpunkte $ S_i $ zu bestimmen (bzw. aus Tabellen abzulesen).

3. Zuletzt wendet man den Steinerschen Satz an:

$ I_{y^*} = \sum_{i=1}^n (I_{y^*})_i = \sum_{i=1}^n [(I_y)_i + z_{S_i}^{*2} \; A_i] $

$ I_{z^*} = \sum_{i=1}^n (I_{z^*})_i = \sum_{i=1}^n [(I_z)_i + y_{S_i}^{*2} \; A_i] $

$ I_{y^*z^*} = \sum_{i=1}^n (I_{y^*z^*})_i = \sum_{i=1}^n [(I_{yz})_i - y_{S_i}^*z_{S_i}^* \; A_i] $

Durch dieses Vorgehen kann auch die oben beschriebene Problematik systematisch gelöst werden. 

Anwendungsbeispiel: Zusammengesetzte Fläche

Es sei folgende Fläche mit ihren Teilflächen gegeben:

Es sollen die Flächenträgheitsmomente für die obige Fläche $A$ (bestehend aus den beiden Teilflächen $A_1$ und $A_2$) bezogen auf das $y,z$-Koordinatensytem berechnet werden.

Da es sich um zwei Rechtecke handelt und das Koordinatensystem durch den Flächenschwerpunkt des Rechtecks $A_2$ geht, kann man für dieses Rechteck schon einmal die Flächenträgheitsmomente aus der Tabelle im Abschnitt Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem bestimmen:

$I_{y_2} = \frac{b^3a}{12}$

$I_{z_2} = \frac{a^3b}{12}$

$I_{y_2 z_2} = 0$

Für das Rechteck $A_1$ erfolgt die Berechnung wie folgt:

1. Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten. D.h. der Abstand des Koordinatensystems hin zum Schwerpunkt des Rechtecks $A_1$.

Der Schwerpunkt von $A_1$ liegt auch wieder in der Mitte (wie beim Rechteck üblich). Das bedeutet also:

$y_s = b - \frac{a}{2}$

$z_s = -(\frac{b}{2} + \frac{a}{2})$

Das Rechteck $A_1$ besitzt die Fläche $A_1 = a \cdot 2b$.

2. Berechnung von $I_y$, $I_z$ und $I_{yz}$ bezogen auf den Schwerpunkt von $A_1$. Hier gilt auch wieder:

$I_{y_{s1}} = \frac{a^32b}{12}$

$I_{z_{s1}} = \frac{(2b)^3a}{12}$

$I_{y_{s1} z_{s1}} = 0$

3. Anwendung der Steinerschen Sätze:

$I_{y_1} = I_{y_{s1}} + z_s^2 \cdot A$

$I_{y_1} = \frac{a^32b}{12} + [-(\frac{b}{2} + \frac{a}{2})]^2 \cdot a \cdot 2b $

$I_{y_1} = \frac{a^32b}{12} + (\frac{b^2}{4} + 2 \frac{b}{2} \frac{a}{2} + \frac{a^2}{4}) \cdot a \cdot 2b $

$I_{y_1} = \frac{2}{3}a^3b + \frac{1}{2}b^3a + b^2 a^2$

$I_{z_1} = \frac{(2b)^3a}{12} + (b - \frac{a}{2})^2 \cdot a \cdot 2b$

$I_{z_1} = \frac{8}{3}b^3a - 2a^2b^2 + \frac{1}{2}a^3b$

$I_{y_1 z_1} = 0 - (b - \frac{a}{2}) \cdot -(\frac{b}{2} + \frac{a}{2}) \cdot a \cdot 2b$

$I_{y_1 z_1} = b^3a + \frac{1}{2}a^2b^2 - \frac{1}{2}a^3b$

Zusammenfassung der beiden Teilflächen

$I_y = \frac{2}{3}a^3b + \frac{1}{2}b^3a + b^2 a^2 + \frac{b^3a}{12}$

$I_y = \frac{2}{3}a^3b + b^2 a^2 + \frac{7}{12}b^3a$

$I_z =  \frac{8}{3}b^3a - 2a^2b^2 + \frac{1}{2}a^3b + \frac{a^3b}{12}$

$I_z = \frac{8}{3}b^3a - 2a^2b^2 + \frac{7}{12}a^3b$

$I_{yz} = b^3a + \frac{1}{2}a^2b^2 - \frac{1}{2}a^3b + 0$

$I_{y_1 z_1} = b^3a + \frac{1}{2}a^2b^2 - \frac{1}{2}a^3b$