Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Flächenträgheitsmomente bestimmt.

Beispiel 1: Rechteck mit Achsen durch den Schwerpunkt

Wie bereits aus dem Abschnitt Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem gezeigt sind die Flächenträgheitsmomente für ein Rechteck:

$I_y = \frac{ba^3}{12}$

$I_z = \frac{ab^3}{12}$

$I_{yz} = 0$

Es wird hier gezeigt, wie man diese Formeln erhält.

Die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente erfolgt mit:

$I_y = \int z^2 \; dA$

$I_z = \int y^2 \; dA$

$I_{yz} = \int yz \; dA$

Begonnen wird mit $I_y$. Man wählt nun einen infinitesimal kleinen Streifen mit der Breite $dz$ aus dem Rechteck, welcher überall den gleichen Abstand zur $y$-Achse besitzt:

Der Streifen besitzt die Länge $b$ und die Breite $dz$. Wenn man den gleichen Abstand zur $y$-Achse wählt, dann kann man die Integration einfach über die Länge $a$ vornehmen und erhält demnach das gesamte Rechteck. 

$I_y = \int z^2 dA$           mit  $dA = b \cdot dz$

Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$. Da sich der Schwerpunkt bei einem Rechteck in der Mitte befindet und die $y$-Achse demnach in der Mitte liegt, erfolgt die Integration von $-\frac{a}{2}$ bis $\frac{a}{2}$:

$I_y = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} z^2 \cdot b \cdot dz$

$I_y = [\frac{1}{3} z^3 \cdot b]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}$

$I_y = \frac{1}{3} (\frac{a}{2})^3 \cdot b - \frac{1}{3} (-\frac{a}{2})^3 \cdot b$

$I_y = \frac{1}{3} \frac{a^3}{8} \cdot b +  \frac{1}{3} \frac{a^3}{8} \cdot b$

$I_y = \frac{2}{3} \frac{a^3}{8} \cdot b = \frac{a^3 b}{12}$

Der Exponent hoch 3 befindet sich immer bei der Länge, die senkrecht zur betrachteten Achse steht. In diesem Fall wurde die $y$-Achse betrachtet. Die Länge $a$ steht senkrecht zur $y$-Achse und erhält demnach den Exponenten hoch 3. Bei Betrachtung der $z$-Achse erhält $b$ den Exponenten hoch 3. 

Um nun $I_z$ zu berechnen wird ein infinitesimal kleiner Streifen betrachtet, welcher überall den gleichen Abstand zur $z$-Achse besitzt:

Der Streifen besitzt die Breite $dy$ und die Länge $a$. Wenn man den gleichen Abstand zur $z$-Achse wählt, dann kann man die Integration einfach über die Länge $b$ vornehmen und erhält demnach das gesamte Rechteck. 

$I_z = \int y^2 \; dA$    mit $dA = a \cdot dy$

Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $b$. Da sich der Schwerpunkt bei einem Rechteck in der Mitte befindet und die $z$-Achse demnach in der Mitte liegt, erfolgt die Integration von $-\frac{b}{2}$ bis $\frac{b}{2}$:

$I_z = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} z^2 \cdot a \cdot dy$

$I_z = [\frac{1}{3} z^3 \cdot a]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

$I_z = \frac{2}{3} \frac{b^3}{8} \cdot a = \frac{b^3a}{12}$

Das Deviationsmoment wird zuerst für die 2. Grafik betrachtet. Hier ist für das infinitesimal kleine Rechteck der Breite $dz$ die $z$-Achse eine Symmetrieachse (auf beiden Achsenseiten gleich) und demnach ist das Deviationsmoment $I_{yz} = 0$. Das bedeutet das Deviationsmoment $I_{zy}$ ist ebenfalls gleich null. Das sieht man auch an der 3. Grafik, da die $y$-Achse hier die Symmetrieachse darstellt.

Beispiel 2: Rechteck (Achsen verlaufen nicht durch den Schwerpunkt)

Gegeben sei das obige Rechteck. Im Unterschied zum vorherigen Beispiel verlaufen die Achsen nun nicht mehr durch den Schwerpunkt. Das bedeutet auch, dass die beiden Achsen keine Symmetrieachsen mehr darstellen und das Deviationsmoment $I_{yz}$ nicht mehr null ist. 

Bestimmung der Flächenträgheitsmomente

Der infinitesimale Streifen der Breite $dz$ und der Länge $b$ wird integriert über die Länge $a$:

$I_y = \int_0^a z^2 \; dA$   mit $dA = b \cdot dz$

$I_y = \int_0^a z^2 \cdot b \cdot dz$

$I_y = [\frac{1}{3}z^3 \cdot b]_0^a$

$I_y = \frac{a^3b}{3}$

Der infinitesimale Streifen der Breite $dy$ und der Länge $a$ wird integriert über die Länge $b$:

$I_z = \int_0^b y^2 \; dA$   mit $dA = a \cdot dy$

$I_z = \int_0^b y^2 \cdot a \cdot dy$

$I_z= [\frac{1}{3}y^3 \cdot a]_0^b$

$I_z = \frac{b^3a}{3}$

Zur Berechnung des Deviationsmoments wird der Streifen der Breite $dz$ und der Länge $b$ verwendet. Hierzu wird der Schwerpunkt innerhalb des Streifens betrachtet, welcher bei einem Rechteck immer in der Mitte liegt, also bei $y = \frac{b}{2}$. Liegen nämlich die Achsen im Schwerpunkt eines Rechtecks, dann ist das Deviationsmoment null (Symmetrieachsen). Es muss also nur der Abstand vom Schwerpunkt zu den Achsen betrachtet werden.

$I_{yz} = -\int_0^a zy \; dA$         mit $dA = b \; dz$ und  $y = \frac{b}{2}$

$I_{yz} = -\int_0^a z \frac{b}{2} b \; dz$

$I_{yz} = -[\frac{1}{2}z^2 \frac{b^2}{2}]_0^a$

$I_{yz} = - \frac{a^2b^2}{4}$

ALTERNATIV: Streifen der Breite $dy$ und der Länge $a$ integriert über $b$:

$I_{zy} = -\int_0^b zy \; dA$        mit $dA = a \; dy$ und  $z = \frac{a}{2}$

$I_{zy} = - \frac{a^2b^2}{4}$