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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Flächenträgheitsmomente: Definition

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Flächenträgheitsmomente: Definition

Hinweis

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Exkurs:
Im Rahmen der Technischen Mechanik I [Statik] wurden Flächenintegrale benötigt, um einen Flächenschwerpunkt zu bestimmen. Hierzu verwendete man Integralausdrücke, um die Schwerpunktkoordinaten zu berechnen. 

Die besagten Integralausdrücke, auch Flächenmomente 1. Ordnung genannt, haben die Form:

$\ x_s = \frac{1}{A} \int_A xdA  $ sowie $\ y_s = \frac{1}{A} \int_A ydA$. 

Für das weitere Vorgehen in diesem Fall werden jedoch die Flächenmomente 2. Ordnung [Flächenträgheitsmomente] benötigt. Diese treten entweder quadratisch oder als Produkt auf und haben die Form:

$\int x^2dA, $             

$\int y^2dA $ und    

$\int xy dA $. 

Es lassen sich drei Arten von Flächenträgheitsmomenten voneinander unterscheiden (bei weiterer Betrachtung der $y$-$z$-Ebene).

1. Axiales Flächenträgheitsmoment

Mit dem axialen Flächenträgheitsmoment $ I_{yy} $ bzw. $ I_{zz}$ wird die Verbiegung eines Balkens unter Belastung in Abhängigkeit des Querschnitts umfassend beschrieben. Je größer das axiale Flächenträgheitsmoment, desto kleiner die Verbiegung und infolgedessen die im Querschnitt entstehenden inneren Belastungen. Es gilt, dass das axiale Flächenträgheitsmoment stets $ > 0 $ ist. Formal gilt:

Methode

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$\ I_{yy} = I_y = \int_A z^2 dA$        axiales Flächenträgheitsmoment bzgl. der $y$-Achse

$\ I_{zz} = I_z = \int_A y^2 dA$        axiales Flächenträgheitsmoment bzgl. der $z$-Achse

Beispiel

Ein Balken, der die Querschnittsbemaßung 10 x 20 cm besitzt (Grafik a), wird sich durch eine Belastung die vertikal angreift weniger verbiegen, als wenn der Balken flach liegt (Grafik b) und dann vertikal belastet wird. Denn je mehr Querschnittsfläche (also Abstand) vor der entsprechenden Schwerpunktachse liegt (rote Linie), umso höher ist der Flächenträgheitsmoment.

image

2. Polares Flächenträgheitsmoment

Mit dem polaren Flächenträgheitsmoment $ I_P $ wird die Torsion eines Balkens unter Belastung in Abhängigkeit des Querschnittes umfassend beschrieben. Auch hier gilt, umso größer das polare Flächenträgheitsmoment, umso kleiner die Torsion und die im Querschnitt auftretenden inneren Spannungen. Das wesentliche Maß im Querschnitt ist hierbei die radiale Ausdehnung. Formal gilt:

Methode

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$\ I_p = I_{y} + I_{z} = \int_A r^2 dA $             polares Flächenträgheitsmoment

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Ein Rohr mit einem Radius von $ r = 30 mm $ hat einen höheren polaren Flächenträgheitsmoment als beispielsweise ein werkstoffgleiches Rohr mit einem Radius von $ r = 15 mm $. 

3. Deviationsmoment

Das Deviationsmoment (auch: Zentrifugalmoment) $I_{yz}$ ist ein Maß für das Bestreben eines rotierenden Körpers seine Rotationsachse zu verändern. Das Deviationsmoment ist immer dann vorhanden, wenn ein Körper nicht um seine festen Hauptachsen rotiert. Demnach wird es Null, wenn der Körper um seine Hauptachsen rotiert. Berechnet werden kann das Deviationsmoment über die folgende Formel:

Methode

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$\ Izy = Iyz = - \int_A zy dA $                     Biaxiales Flächenträgheitsmoment