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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Festigkeitshypothesen

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Festigkeitshypothesen

Festigkeitshypothesen ermöglichen einen Vergleich von Spannungszuständen infolge mehrachsiger und einachsiger Beanspruchung. Dies ist möglich, da mit Hilfe der Festigkeitshypothesen aus der mehrachsigen Beanspruchung eine Vergleichsspannung errechnet wird, die einen Vergleich mit Kennwerten der einachsigen Beanspruchungen zulässt. Dies gilt sowohl für den ebenen, als auch den räumlichen Spannungzustand. Bezüglich der Werkstoffe unterscheidet man im Zusammenhang mit Festigkeitshypothesen zwischen spröden Werkstoffen, sprödem Werkstoffverhalten und plastisch verformbaren Werkstoffen. 

Bevor die Festigkeitshypothesen angewandt werden können, muss die Vergleichsspannung $\sigma_v$ bestimmt werden. Für die Vergleichsspannung muss hierbei die Festigkeitsbedingung mehrachsig beanspruchter Bauteile gelten:

$\sigma_v \le \sigma_{zul} $ 

Ablaufschema für die Bestimmung von Vergleichsspannungen:

1. Zu Beginn berechnet man die Lastspannungen ( $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{xy},\tau_{yz},\tau_{xz}$ ) aus der äußeren Belastung (bspw. Torsionsmoment, Biegemoment, Zug-/ Druckkraft).

2. Im nächsten Schritt berechnet man die Hauptnormalenspannung ($\sigma_{H_1},\sigma_{H_2},\sigma_{H_3}$) aus den unter 1. erwähnten Lastspannungen. Dies kann nach der bekannten Methode des Mohrschen Spannungskreises erfolgen (siehe Abschnitt Mohrscher Spannungskreis). 

3. Anschließend sortiert man die Hauptnormalenspannungen entsprechend ihrer Größe:

$\sigma_1 := max \ {\sigma_{H_1}, \sigma_{H_2},\sigma_{H_3}}$

$\sigma_3 := min \ {\sigma_{H_1}, \sigma_{H_2},\sigma_{H_3}}$

$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma 3 $

4. Zuletzt errechnet man die Vergleichsspannung $\sigma_v $ aus den unter 3. erwähnten Hauptnormalspannungen, mit der entsprechenden Festigkeitshypothese. Welche Festigkeitshypothese dann zu wählen ist, wird auf den kommenden Seiten näher erläutert. 

5. Vergleich der Vergleichsspannung $\sigma_v$ mit der Dehngrenze $R_e$ des Materials (siehe Abschnitt Spannungs-Dehnungs-Diagramm). Ist $\sigma_v > R_e$, so wird sich das Material plastisch verformen.