ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Technische Mechanik 2: Elastostatik
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse

Allgemeine Annahmen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

In den bisherigen Betrachtungen wurden Spannungszustände stets an Zugstäben untersucht. Dabei handelte es sich um einachsige Spannungszustände, bei denen die Spannungen nur in Richtung der Belastung $F$ aufgetreten sind. Das bedeutet also, dass nur Normalspannungen $\sigma$ und keine Schubspannungen $\tau$ aufgetreten sind. 

Da in der Realität jedoch viel kompliziertere Spannungszustände auftreten, gilt es einige allgemeine Annahmen zu treffen. Es wird zunächst wieder die bereits bekannte Grafik aus dem Abschnitt Allgemeine Definition der Spannungen herangezogen:

Spannungstensor

In der obigen Grafik greifen die Kräfte beliebig am Körper an. Die Kräfte greifen nun also nicht mehr nur in Richtung der Längsachse des Körpers (wie bei Zugstäben/Druckstäben) an. Bei einem Zug-/Druckstab war es so, dass nur Kräfte in einer Achsenrichtung aufgetreten sind:

Zugstab Normalspannungen

Bei einem Schnitt und dem Abtragen der Schnittkräfte $N$ (senkrecht) auf der Schnittfläche, also in $x$-Richtung und $T$ tangential zur Schnittfläche, wird bei Anwendung der vertikalen Gleichgewichtsbedingung $T = 0$ und damit $\tau = \frac{T}{A} = 0$. 

Im allgemeinen Spannungszustand treten aber nicht nur Kräfte in eine Richtung auf, sondern die Kräfte greifen beliebig am ganzen Körper an, in die drei $x$-, $y$- und $z$-Richtungen. 

Das bedeutet, dass hier nicht nur Normalspannungen $\sigma$ auftreten, sondern ebenfalls Schubspannungen $\tau$. Für die Normalspannung (senkrecht zum Schnitt) in $x$-Richtung ergeben sich demnach Schubspannungen (tangential zum Schnitt) in $y$- und $z$-Richtung:

Schubspannungen
Schubspannungen

Im Gegensatz zum bisherigen Vorgehen (siehe Abschnitt Definition der Spannung) wird die Schubspannung $\tau$ in die beiden Richtungen, die die Tangentialebene aufspannen (parallel zur Querschnittsfläche), zerlegt. Diese Richtungen sind die $y$- und $z$-Richtung. Es treten also die Schubspannungen $\tau_{xy}$ und $\tau_{xz}$ auf. Der Normalenvektor, und damit die Normalspannung $\sigma$, ist deckungsgleich mit der x-Richtung. In einem nächsten Schritt werden die Spannungskomponenten indiziert:

Spannungsvektor $ t = t_x\cdot e_x + t_y\cdot e_y + t_z\cdot e_z $

In der obigen Gleichung wird der Spannungsvektor durch seine Komponenten und den Einheitsvektoren in $x$-, $y$- und $z$-Richtung ausgedrückt. Da der Einheitsvektor $ e_x $ mit dem Normalenvektor $ n $ identisch ist, ist auch die Normalspannung $\sigma_{xx} $ mit der Komponente $ t_x $ identisch. Analog dazu gilt für die Schubspannungskomponenten:

$\ t_y = \tau_{xy} $ und $ t_z = \tau_{xz}$.


Fasst man nun alle Annahmen zusammen, erhält man für den Spannungsvektor die Gleichung:

Spannungsvektor $ t = \sigma_{xx}e_x + \tau_{xy}e_y + \tau_{xz}e_z$

Merke

Die Doppelindizierung der Komponenten ist nicht willkürlich gewählt, sondern beschreibt mit dem ersten Index die Orientierung der Schnittfläche über dem Normalenvektor $n$ und mit dem zweiten Index die Richtung der Spannung (also die Richtung des Vektors). 

Fällt der Normalenvektor hingegen mit dem Einheitsvektor $ e_y $ oder $ e_z $ zusammen, so ändert sich der Spannungsvektor entsprechend:

Methode

Spannungsvektoren

X-Richtung: $t = \sigma_{xx}e_x + \tau_{xy}e_y + \tau_{xz}e_z$

Y-Richtung: $ t = \tau_{yx}e_x + \sigma{yy}e_y + \tau_{yz}e_z $

Z-Richtung: $ t = \tau_{zx}e_x + \tau_{zy}e_y + \sigma{zz}e_z $


Insgesamt sind nun neun Spannungskomponenten beschrieben, davon drei Normalspannungen und sechs Schubspannungen. Zur Veranschaulichung dient die nächste Abbildung:

Spannungskomponenten
Spannungskomponenten

Der obige freigeschnittene Würfel zeigt alle Spannungskomponenten. Bei Betrachtung z.B. der $y$-Richtung, besagen die Indizes der Normalspannung $\sigma_{yy}$, dass die Querschnittsfläche in $y$-Richtung zeigt und der Vektor ebenfalls in $y$-Richtung zeigt.

Die Indizes der Schubspannungen $\tau_{yz}$ und $\tau_{yx}$ bedeuten, dass der Schnitt in $y$-Richtung durchgeführt wurde und somit die Normalspannung in $y$-Richtung wirkt. Da die Schubspannung immer tangential (parallel) zur Querschnittsfläche liegt, zeigt der eine Vektor in $z$-Richtung und der andere in $x$-Richtung. Das erste Indize gibt also immer die Richtung des Normalenvektors bzw. der Normalspannung an, der bzw. die senkrecht auf dem Schnitt steht. Das zweite Indize zeigt die Richtung des Vektors selbst an.

Merke

Da die Indizes der Normalspannungen immer identisch sind, ist für ihre eindeutige Beschreibung lediglich ein Index notwendig:

$\sigma_{xx} = \sigma_x $

$\sigma_{yy} = \sigma_y $

$\sigma_{zz} = \sigma_z $

Momentengleichgewicht

Um das Momentengleichgewicht aufzustellen, werden als nächstes die Spannungskomponenten in der Ebene ($y$-$z$-Richtung) betrachtet.

Spannungskomponenten in der Ebene
Spannungskomponenten in der Ebene

Es wird nun das Momentengleichgewicht um den Elementmittelpunkt betrachtet. Da sich dieser in der Mitte des Quadrats befindet, sind die Abstände (also der Hebelarm) der Schubspannungen alle $\frac{dy}{2}$ bzw. $\frac{dz}{2}$. Die Normalspannungen werden null, da diese keinen Hebelarm besitzen (Wirkungslinien schneiden den betrachteten Mittelpunkt). Zusätzlich zum Hebelarm muss noch die Fläche $dA$ berücksichtigt werden, welche sich z.B. bei der Querschnittsfläche in $y$-Richtung ergibt aus $dx \cdot dz$:

Querschnittsfläche

Momentengleichgewichtsbedingung:

$\curvearrowleft M = \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz + \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz - \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy - \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy = 0$

$\rightarrow : 2 \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz = 2 \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy$

Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass sich $\tau_{yz} $ analog zu $\tau_{zy} $ verhält.

Gleiches gilt für die Gleichgewichtsbetrachtung in den anderen Ebenen:

$\tau_{yx} = \tau_{xy} $

$\tau_{xz} = \tau_{zx} $ 

Die Quintessenz aus diesen Zusammenhängen ist, dass eine Abhängigkeit zwischen Schubspannungen besteht und dass immer jene, die ein vertauschtes Indexpaar besitzen identisch sind. So sind also Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen gleich. Diese sogenannten zugeordneten Schubspannungen zeigen immer entweder beide auf eine Kante hin oder von einer Kante weg. Die unabhängigen Schubspannungen reduzieren sich somit auf drei und die Anzahl der unabhängigen Spannungskomponenten auf sechs.

Hieraus kann nun ein symmetrischer Spannungstensor gebildet werden:

$\ S = \left(\begin{array}{c} \sigma_x \ \tau_{xy}\ \tau_{xz}\\ \tau_{yx}\ \sigma_y\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx}\ \tau_{zy}\ \sigma_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \sigma_x \ \tau_{xy}\ \tau_{xz}\\ \tau_{xy}\ \sigma_y\ \tau_{yz} \\ \tau_{xz}\ \tau_{yz}\ \sigma_z \end{array}\right) $

Die Diagonalen bilden die Normalspannungen. Die übrigen Elemente sind Schubspannungen. Beide Spannungstensoren sind symmetrisch aufgrund der Gleichheit der Schubspannung bei identischen Indizes.

Merke

Ein Spannungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe, der mechanische Spannungen an einem bestimmten Punkt in einem Körper beschreibt. 
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Ein ist ein Tensor zweiter Stufe, der mechanische Spannungen an einem bestimmten Punkt in einem Körper beschreibt.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Allgemeine Annahmen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 2: ElastostatikTechnische Mechanik 2: Elastostatik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Elastostatik
    • Einleitung zu Kurs: Elastostatik
  • Grundlagen
    • Grundlegende Annahmen der Elastostatik
    • Statisches Gleichgewicht
    • Beanspruchungsarten
  • Stabbeanspruchungen
    • Allgemeine Definition der Spannung
    • Spannungen im Stab
      • Einleitung zu Spannungen im Stab
      • Prinzip von St. Venant
      • Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
      • Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
      • Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
      • Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    • Dehnung im Stab
      • Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
      • Dehnung (Stabelement)
    • Materialgesetz / Zugversuch
      • Einleitung zu Materialgesetz / Zugversuch
      • Spannungs-Dehnungs-Diagramm
      • Hookesches Gesetz
    • Wärmedehnungen
    • Verformungen quer zur Stabachse
      • Querdehnungen
      • Volumendehnungen
      • Schubverformungen
    • Differentialgleichung eines Stabes
    • Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    • Statisch bestimmte Stabwerke
      • Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
        • Einleitung zu Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
        • Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
        • Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
      • Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    • Statisch unbestimmte Stabwerke
      • Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
      • Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
  • Mehrachsige Spannungszustände
    • Allgemeine Annahmen
    • Ebener Spannungszustand
      • Einleitung zu Ebener Spannungszustand
      • Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
      • Beispiel 1: Koordinatentransformation
      • Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
      • Beispiel 2: Koordinatentransformation
      • Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    • Hauptspannungen
      • Einleitung zu Hauptspannungen
      • Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
      • Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
      • Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
      • Beispiele: Hauptspannungen
        • Beispiel 1: Hauptspannungen
        • Beispiel 2: Hauptspannungen
    • Mohrscher Spannungskreis
      • Einleitung zu Mohrscher Spannungskreis
      • Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    • Ebener Verzerrungszustand
      • Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
        • Einleitung zu Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
        • Verträglichkeitsbedingungen
        • Verzerrungstensor
      • Transformation von Verzerrungskomponenten
      • Hauptdehnungen
    • Räumlicher Verzerrungszustand
    • Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
      • Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
        • Einleitung zu Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
        • Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen
      • Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand
      • Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
        • Einleitung zu Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
        • Hookesches Gesetz mit Wärmedehnungen
      • Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
  • Balkenbiegung
    • Einleitung zu Balkenbiegung
    • Arten der Biegung
    • Flächenträgheitsmomente
      • Einleitung zu Flächenträgheitsmomente
      • Flächenträgheitsmomente: Definition
      • Deviationsmomente unterschiedlicher Flächen
      • Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
      • Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
      • Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
      • Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
      • Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
      • Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
      • Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    • Gerade bzw. einachsige Biegung
      • Einleitung zu Gerade bzw. einachsige Biegung
      • Reine Biegung
        • Einleitung zu Reine Biegung
        • Normalspannung bei reiner Biegung
        • Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
        • Widerstandsmoment bei reiner Biegung
      • Querkraftbiegung
        • Einleitung zu Querkraftbiegung
        • Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
      • Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung
        • Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
        • Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
      • Balkenverformung bei einachsiger Biegung
        • Einleitung zu Balkenverformung bei einachsiger Biegung
        • Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
        • Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
        • Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
          • Einleitung zu Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
          • Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
          • Biegelinie mit Streckenlast
          • Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
        • Superpositionsprinzip
        • Statisch unbestimmt gelagerte Balken
      • Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen
      • Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    • Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    • Gerade und schiefe Biegung mit Zug
  • Torsion
    • Torsion von Wellen
      • Einleitung zu Torsion von Wellen
      • mit Kreisquerschnitt
        • Einleitung zu mit Kreisquerschnitt
        • Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
      • mit Kreisringquerschnitt
    • Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    • Torsion von dünnwandigen, offenen Profilen
  • Schub
    • Balkenverformung infolge von Schub
    • Schub bei dünnwandigen Profilen
    • Schubspannungsverteilung in dünnwandigen Profilen
    • Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
    • Schubmittelpunkt bei dünnwandigen offenen Profilen
  • Festigkeitshypothesen
    • Einleitung zu Festigkeitshypothesen
    • Hauptnormalspannungshypothese
    • Hauptschubspannungshypothese
    • Gestaltänderungsenergiehypothese
  • Stabilität und Knickung
    • Stabilitätsfälle und Gleichgewichtslagen
    • Eulersche Fälle der Stabknickung
      • Einleitung zu Eulersche Fälle der Stabknickung
      • Kritische Knickkraft
      • Kritische Knickspannung
  • 108
  • 17
  • 132
  • 214
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 14.04.2016:
    "Ich studiere Maschinenbau als Fernstudium und leider sind einige Studienheft lückenhaft und schwer verständlich geschrieben. Dieser Kurs ist das Beste was ich mir vorstellen kann!!! Ich bin so froh, dass ich diesen Kurs zufällig gefunden habe."

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 26.01.2016:
    "Sehr gut, dass man Aufgaben erst selber rechnen kann und danach die Lösung erläutert wird."

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 24.01.2016:
    "Tolles Programm! Super erklärt!"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 07.10.2015:
    "Top"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 01.06.2015:
    "Ich schreibe zwar erst meinen Midterm in Mechanik 2 und war mir beim lernen immer unsicher wie genau ich ran gehen soll. Alte Midterms rechnen oder viel wissen aneignen? Wo kriege ich, dass wissen gut erklärt her? Bei eurem Kurs muss man sich keine Gedanken mehr machen alles ist sehr übersichtlich und gut aufbereitet. Mir macht der Kurs spaß. Danke für eure Arbeit!"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 11.05.2015:
    "Super!!"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen