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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Beispiel 2: Koordinatentransformation

In diesem Abschnitt wird ein weiteres Beispiel zur Koordinatentransformation aufgezeigt.

Beispiel: Koordinatentransformation mit unterschiedlichen Schnittrichtungen

Beispiel Koordinatentransformation Elastostatik

Beispiel

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Gegeben sei die obige Scheibe, für welche die NormalSpannungen und SchubSpannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen a-a und b-b bekannt sind.

Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt c-c!


Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich wird. Es wird zunächst der Schnitt a-a betrachtet:

Beispiel verschiedene Schnittwinkel Schnitt a-a

Aus der Aufgabenstellung wird deutlich, dass für die Schnittrichtung a-a die Normalspannung (welche immer senkrecht auf dem Schnitt steht) gegeben ist mit $\sigma_y = 50 \frac{N}{mm^2}$ und die dazugehörige Schubspannung $\tau_{yx} = 50 \frac{N}{mm^2}$. Beide zeigen in positive Richtung, d.h. die gegebenen Spannungen müssen positiv in die Berechnungen eingehen.

Gegeben ist allerdings nicht die Normalspannung $\sigma_x$, welche in $x$-Richtung zeigt und für einen zu a-a senkrechten Schnitt gilt. Das bedeutet schon einmal, dass die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt zur Koordinatentransformation so nicht angewandt werden können, um die Normal- und Schubspannungen für einen anderen Schnitt (hier c-c) zu bestimmen, denn hier müsste auch $\sigma_x$ gegeben sein.

Merke

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Nicht vergessen: Die Schubspannungen, welche ein vertauschtes Indexpaar besitzen, sind identisch, also $\tau_{yx} = \tau_{xy}$.


Es ist aber zusätzlich noch der Schnitt b-b gegeben:

Beispiel Koordinatentransformation verschiedene Schnittrichtungen Spannungen

Der Schnitt b-b ist im 135°-Winkel zur x-Achse gegeben. Bei der Koordinatentransformation legt man nun die neue gedrehte $y^*$-Achse durch diesen Schnitt. Die neue $x^*$-Achse liegt dabei senkrecht zur $y^*$-Achse. Bei einem Schnitt von 135° zur x-Achse liegt das neue $x^*, y^*$-Koordinatensystem im Gegensatz zum $x,y$-Koordinatensystem um 45° im Uhrzeigersinn gedreht vor. Da IM Uhrzeigersinn gedreht wird, ist $\alpha = -45°$. Die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt gelten für positives $\alpha$, wenn GEGEN den Uhrzeigersinn gedreht wird und entsprechend muss $\alpha = -45°$ hier negativ berücksichtigt werden. Dreht man nun die Scheibe mit den in positive Richtung zeigenden Spannungen ebenfalls um 45° mit dem Uhrzeigersinn, so hat man die positiven Spannungen ($\sigma_x^*$ und $\tau_{xy}^*$) für den Schnitt b-b gegeben. In der Aufgabenstellung ist aber deutlich zu sehen, dass die Spannung zum Schnitt hinzeigt, d.h. also in entgegengesetzte Richtung zu der positiven Spannung. Die Normalspannung muss also negativ berücksichtigt werden $\sigma_x^* = -22 \frac{N}{mm^2}$. Auch die Schubspannung zeigt in entgegengesetzte Richtung und ist demnach ebenfalls negativ zu berücksichtigen $\tau_{xy}^* = -22 \frac{N}{mm^2}$. 


Es ist nun also so, dass zum einen die Normalspannung und Schubspannung für den Schnitt a-a und für den Schnitt b-b gegeben ist. Für die Anwendung der Formeln zur Koordinatentransformation müssten ebenfalls die Normalspannungen für die dazu senkrechten Schnitte gegeben sein, also $\sigma_x$ für den Schnitt senkrecht zu a-a und $\sigma_y^* für den Schnitt senkrecht zu b-b. Alternativ kann man nun mittels der Invarianten diese Normalspannungen bestimmen.

Methode

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$I_{\sigma} = \sigma_x + \sigma_y = \sigma_x^* + \sigma_y^*$

$II_{\sigma} = \sigma_x \cdot \sigma_y - \tau_{xy}^2 = \sigma_x^* \cdot \sigma_y^* - \tau_{xy^*}^2$

Das bedeutet also, dass die Summe aus den Normalspannungen für den Schnitt a-a und einen senkrechten Schnitt dazu plus die Normalspannungen für den Schnitt b-b und einen senkrechten Schnitt dazu gleich sein muss. Man setzt nun die gegebenen Werte ein:

$\sigma_x + \sigma_y = \sigma_x^* + \sigma_y^*$:

$\sigma_x + 50 \frac{N}{mm^2} = -22 \frac{N}{mm^2} + \sigma_y^*$


Auflösen nach $\sigma_x$:

$\sigma_x = -72 \frac{N}{mm^2} + \sigma_y^*$

Einsetzen in $II_{\sigma}$:

$(-72 \frac{N}{mm^2} + \sigma_y^*) \cdot 50 \frac{N}{mm^2} - (50 \frac{N}{mm})^2 = -22 \frac{N}{mm^2} \cdot \sigma_y^* - (-22 \frac{N}{mm^2})^2$


Auflösen nach $\sigma_y^*$:

Methode

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$\sigma_y^* = 78 \frac{N}{mm^2}$

Einsetzen in $I_{\sigma}$ um $\sigma_x$ zu bestimmen:

$\sigma_x + 50 \frac{N}{mm^2} = -22 \frac{N}{mm^2} + 78 \frac{N}{mm^2}$

Methode

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$\sigma_x = 6 \frac{N}{mm^2}$.

Bestimmung der Spannungen für den Schnitt c-c mittles a-a

Da nun die fehlenden Normalspannungen bekannt sind, können als nächstes für den Schnitt c-c die Spannungen bestimmt werden. Der Schnitt c-c wird in einem Winkel von 45° zur x-Achse durchgeführt (siehe Aufgabenstellung). Dies entspricht der Drehung des Koordinatensystems um 45° gegen den Uhrzeigersinn. Es liegt demnach eine positive Drehrichtung und damit ein positiver Winkel $\alpha$ vor:

Beispiel verschiedene Schnittrichtungen Spannungen

Die Formeln für die Koordinatentransformation sind:

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y) \cos (2 \alpha) + \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$ \sigma_{y^*}= \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( -\sigma_x + \sigma_y) \cos (2 \alpha) - \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x + \sigma_y) \sin (2 \alpha) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha)$


Es wird vom Schnitt a-a ausgegangen und dem Schnitt senkrecht dazu. Diese beiden Schnitte entsprechen dem obigen $x,y$-Koordinatensystem. Die Spannungen sind gegeben bzw. berechnet worden. Für den Schnitt c-c wird dieses dann um 45° in positive Drehrichtung gedreht ($\alpha = 45°)$. Demnach werden die folgenden Spannungen berücksichtigt: $\sigma_x = 6 \frac{N}{mm^2}$, $\sigma_y = 50 \frac{N}{mm^2}$ und $\tau_{xy} = 50 \frac{N}{mm^2}$. Es können nun die Spannungen für den Schnitt c-c bestimmt werden:

$ \sigma_{x^*} = 78 \frac{N}{mm^2}$

$ \sigma_{y^*}= -22 \frac{N}{mm^2}$

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = 22 \frac{N}{mm^2}$.

Es ist deutlich zu erkennen, dass die Normalspannungen im Gegensatz zum Schnitt b-b und dem dazu senkrechten Schnitt vertauscht sind. Das liegt daran, dass der Schnitt b-b senkrecht (im 90°-Winkel) zu dem Schnitt c-c liegt.

Merke

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Für den Schnitt c-c wäre die Berechnung der Spannung $\sigma_x^*$ und $\tau_{x^*y^*}$ ausreichend gewesen, da diese die zu diesem Schnitt zugehörigen Spannungen darstellen. Die Normalspannung $\sigma_y^*$ ist demnach die Normalspannung senkrecht zum Schnitt c-c (in diesem Beispiel also die Spannung für den Schnitt b-b, da dieser senkrecht zu c-c liegt).


Bestimmung der Spannungen für den Schnitt c-c mittels b-b

Alternativ hätte man auch als Ausgangschnitt den Schnitt b-b wählen können, um die Spannungen für den Schnitt c-c zu bestimmen. Der Schnitt c-c steht senkrecht (im 90°-Winkel) auf dem Schnitt b-b. Wählt man nun also die Spannungen für den Schnitt b-b als Ausgangssituation, so muss man das Koordinatensystem also um 90° in positive Richtung (mit dem Uhrzeigersinn) drehen, um die Spannungen für den Schnitt c-c zu erhalten:

Beispiel verschiedene Schnittrichtungen

Es werden nun die Spannungen $\sigma_x = -22 \frac{N}{mm^2}$, $\sigma_y = 78 \frac{N}{mm^2}$ und $\tau_{xy} = -22 \frac{N}{mm^2}$ mit dem Winkel $\alpha = 90°$ eingesetzt:

$\sigma_x^* = 78 \frac{N}{mm^2}$

$\sigma_x^* = -22 \frac{N}{mm^2}$

$\tau_{xy} = \tau_{yx} = 22 \frac{N}{mm^2}$.