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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Verträglichkeitsbedingungen

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Verträglichkeitsbedingungen

Die Verträglichkeitsbedingung bzw. Kompatibilitätsbedingung gewährleistet, dass auftretende Dehnungen [$\epsilon_x , \epsilon_y $] mit Gleitungen [$\gamma_{xy}$}] verträglich sind. Sind beispielsweise Verschiebungen $ u $ und $ v $ bekannt, so können die Dehnungen und Gleitungen nach dem bereits bekannten Schema errechnet werden. 

Sind jedoch im umgekehrten Fall nur die Verzerrungen [Dehnungen und Gleitungen] bekannt, so lassen sich die Verschiebungen mittels Integration bestimmen. Hierzu muss jedoch eine Abhängigkeit der Verzerrungen voneinander vorausgesetzt sein.

Dazu wird erneut die Gleichung $\tau_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} $ verwendet.

Diese Gleichung wird im ersten Schritt zuerst partiell nach $x$ und anschließend partiell nach $y$ abgeleitet:

$\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^3 u}{\partial y^2\partial x} + \frac{\partial^3 v}{\partial x^2 \partial y} $

In dieser Gleichung ersetzt man nun die Ableitungen der Verschiebungen durch die Dehnungen und erhält damit die notwendige Verträglichkeitsbedingung, die erfüllt sein muss, damit die Verzerrungen zu einem eindeutigen Verschiebungsfeld führen. 

Methode

$\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2} $     Verträglichkeitsbedingung