Beispiel 1: Hauptspannungen

Gegeben sei folgendes Metallstück mit den dazugehörigen Richtungen der Schub- und Normalspannungen.

Schubspannungen und Normalspannungen

(1) Spannungen bestimmen

Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung die auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 55°-Winkel zur $x$-Achse:

Schnitt im 55° Winkel zur x-Achse

Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als nächstes muss nun das neue Koordinatensystem $[x^*, y^*]$ eingeführt werden. Die $x^*$-Achse liegt parallel zur Normalspannung $\sigma_x^*$:

Einführung des neuen Koordinatensystems

Da $\sigma_x^*$ parallel zur $x^*$-Achse verläuft und senkrecht auf dem Schnitt steht, verläuft die $y^*$-Achse parallel zum Schnitt. Die beiden Achsen bilden einen 90°-Winkel und somit ist die Drehung des Koordinatensystems um 35° IM Uhrzeigersinn. Das bedeutet der Winkel muss negativ in die nachfolgenden Formeln eingehen, da diese für einen positiven Winkel bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn berechnet worden sind (siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung): 

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y) \cos (2 \alpha) + \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x + \sigma_y) \sin (2 \alpha) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha)$

Einsetzen von $\alpha = -35°$ ergibt:

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (-50 + 28) + \frac{1}{2} ( -50 - 28) \cos (-70) - 23 \sin (-70)$

$\sigma_x^* = -2,73 MPa$

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(50 + 28) \sin (-70) - 23 \cos (-70)$

$\tau_{x^*y^*} = -44,51 MPa$

Die Spannungen sind beide negativ und demnach auch so einzuzeichnen, wie es in der obigen Grafik geschehen ist. Die Formeln $\sigma_x^*$ und $\tau_{x^*y^*}$ wurden für Spannungen aufgestellt, die zu den positiven Achsen zeigen. Da nun negative Spannungen ermittelt worden sind, müssen diese in die entgegengesetzte Richtung zeigen.

(2) Hauptspannungen bestimmen

Die Hauptspannungen ergeben sich durch:

$ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $

$ \sigma_{1,2} = \frac{(-50 + 28)}{2} \pm \sqrt{(\frac{-50 - 28}{2})^2 + (-23)^2} $

$\sigma_1 = 34,28 MPa$

$\sigma_2 = -56,28 MPa$

Die Hauptrichtungen ergeben sich durch:

$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$   

$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \cdot -23}{-50 - 28}$   

$\tan (2 \alpha^*) = 0,59$

$2 \alpha^* =\tan^{-1} 0,59 = 30,54°$

$\alpha^* = 15,27°$.

Um herauszufinden für welche der obigen Hauptspannungen diese Richtung gilt (gemessen von der $x$-Achse aus), wird dies in die Gleichung $\sigma_{x^*}$ eingesetzt:

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (-50 + 28) + \frac{1}{2} ( -50 - 28) \cos (2 \cdot 15,27)  - 23 \sin (2 \cdot 15,27) $

$\sigma_{x^*} = -56,28 MPa = \sigma_2$.

Diese Hauptrichtung gehört also zur Hauptspannung $\sigma_2$. Die Hauptspannung $\sigma_1$ steht dazu senkrecht (90°-Winkel).

Hauptspannung und Hauptrichtung

Die Grafik zeigt noch einmal die Hauptspannungen und die Hauptrichtung. Da die ermittelte Hauptrichtung $\alpha^* = 15,27°$ für $\sigma_2$ ermittelt wurde, wird $\sigma_2$ in diesem Winkel von der $x$-Achse abgetragen und zum Körper hin eingezeichnet, da dieser Wert negativ ist. $\sigma_1$ steht senkrecht zu $\sigma_2$ und wurde vom Körper weg eingezeichnet, da der Wert positiv ist.

(3) Hauptschubspannungen bestimmen

Die Hauptschubspannungen ergeben sich durch:

$\tau_{max} = \pm \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}$ 

$\tau_{max} = \pm \frac{34,28 - (- 56,28)}{2}$

$\tau_{max} = \pm 45,28 MPa$

Die dazugehörigen Schnittrichtungen $\alpha^{**}$ sind um 45° zu den Hauptrichtungen geneigt. Es ergibt sich also:

$\alpha^** = 15,27° + 45° = 60,27°$

Unter diesem Winkel ist die Schubspannung maximal (=Hauptschubspannung) und die Normalspannung nimmt ihren mittleren Wert an:

$\sigma_m = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} = -11 MPa$.

Video: Bestimmung der Hauptspannungen