Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)

In diesem Abschnitt wird die Hauptschubspannung aufgezeigt. Diese liegt vor, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen. Zunächst folgt die Herleitung der Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptschubspannung, danach werden die Hauptschubspannungen hergeleitet. Zum Abschluss werden die benötigten Formeln nochmals zusammengefasst.

Herleitung der Hauptrichtung für die Hauptschubspannung

Wie im vorherigen Abschnitt zur Bestimmung der Normalspannungen, erfolgt auch die Berechnung der Hauptschubspannungen unter Bildung der ersten Ableitung aus der Ausgangsgleichung $\tau_{x^*y^*}$.

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x + \sigma_y) \sin (2 \alpha) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha)$.

Bildung der ersten Ableitung:

$ \frac{d\tau_\alpha}{d\alpha} = (\sigma_x - \sigma_y) \cos (2\alpha) + 2 \tau_{xy} \sin (2\alpha) = 0 $

Daraus folgt mit $\alpha = \alpha^{**} $:

$\frac{\cos}{\sin}2\alpha^{**} = - \frac{2\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)}$

Zusammenhang mit der Normalspannung

Aus dem Vergleich von $\alpha^{**} $ mit $\alpha^* $ zeigt sich, dass zwischen beiden eine Beziehung in der Form

$\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})} = - \tan (2\alpha^*) $

besteht. 

Man kann auch für $\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})}$ schreiben $\cot (2 \alpha^{**})$.

Aus der allgemeinen Beziehung

$ \cot (\beta) = - \tan (\beta \pm \frac{\pi}{2}) $

erhält man durch den Vergleich für die Hauptspannungswinkel mit $\beta = 2\alpha^{**} $ den Zusammenhang

$ 2\alpha^* = 2 \alpha^{**} \pm \frac{\pi}{2} $.

Es ergibt sich die folgende Gleichung für die Berechnung des Winkels bei Vorliegen der Hauptschubspannung:

Aus dieser Gleichung lässt sich folgende Aussage formulieren:

Für $\tau_1 $ und $\tau_2 $ lassen sich nun folgende Gleichungen bilden:

$\tau_1 = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin (2 \alpha^{**}) - \tau_{xy} \cos (2 \alpha^{**}) $

$\tau_2 = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin (2 \alpha^{**}) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha^{**}) $

Herleitung der Hauptschubspannung

Die zu diesen zwei Schnittrichtungen gehörenden Schubspannungen, also die Hauptschubspannungen, erhält man, indem man $\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})}$ in die Ausgangsgleichung $\tau_1$ und $\tau_2$ einsetzt (hier nur für $\tau_1$ demonstriert):

$\tau_{1} = \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y) \sin (2 \alpha^{**}) - \tau_{xy} \cos (2 \alpha^{**})$

Zunächst erfolgt wieder die Umschreibung mit den trigonometrischen Beziehungen:

$\sin (2\alpha) = \frac{\tan (2\alpha)}{\sqrt{1 + \tan^2 (2 \alpha)}}$

$\cos (2\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 (2\alpha)}}$

Einsetzen ergibt:

$\tau_{1} = \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)  \frac{\tan (2\alpha)}{\sqrt{1 + \tan^2 (2 \alpha)}} - \tau_{xy}  \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 (2\alpha)}}$

Die Hauptrichtung $\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})} = - \frac{2\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)}$ umschreiben in

$\tan (2\alpha^{**}) = -\frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}}$ und einsetzen:

$\tau_{1} = \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)  \frac{-\frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}}}{\sqrt{1 + (-\frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})^2}} - \tau_{xy}  \frac{1}{\sqrt{1 + (-\frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})^2}}$

Nun erfolgt die Umrechnung:

_________________________________________________________________________________

1. Summand

Der Term unter dem Bruch wieder auf einen Nenner bringen:

$\sqrt{1 + (-\frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})^2}$

$\sqrt{1 + \frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{4\tau_{xy}^2}}$

$\sqrt{\frac{4\tau_{xy}^2}{4\tau_{xy}^2} + \frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{4\tau_{xy}^2}}$

$\sqrt{\frac{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}{4\tau_{xy}^2}}$

$\frac{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}{\sqrt{4\tau_{xy}^2}}$

Da dieser Bruch unter dem Bruchstrich steht, wird er mit dem Kehrwert multipliziert:

$\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y) \cdot -\frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}} \cdot \frac{\sqrt{4\tau_{xy}^2}}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}$

Gekürzt:

$-\frac{1}{2}\frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}$

2. Summand

$\sqrt{1 + (-\frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})^2}$

$\sqrt{1 + \frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{4\tau_{xy}^2}}$

$\sqrt{\frac{4\tau_{xy}^2}{4\tau_{xy}^2} + \frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{4\tau_{xy}^2}}$

$\sqrt{\frac{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}{4\tau_{xy}^2}}$

$\frac{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}{\sqrt{4\tau_{xy}^2}}$

Da dieser Bruch unter dem Bruchstrich steht, wird er mit dem Kehrwert multipliziert:

$-\tau_{xy}  \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{4\tau_{xy}^2}}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}$

Gekürzt:

$-\frac{2 \tau_{xy}^2}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}$

_________________________________________________________________________________________________

Für $\tau_1$ ergibt sich also:

$\tau_{1} = - \frac{1}{2}\frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}} - \frac{2 \tau_{xy}^2}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}$

Für $\tau_2$ ergibt sich:

$\tau_{1} =  \frac{1}{2}\frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}} + \frac{2 \tau_{xy}^2}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}$

Insgesamt ergibt sich also die folgende Gleichung für die Hauptschubspannungen:

$\tau_{1,2} = \pm \frac{1}{2}\frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 \pm (\sigma_x - \sigma_y)^2}} \pm \frac{2 \tau_{xy}^2}{\sqrt{4\tau_{xy}^2 + (\sigma_x - \sigma_y)^2}}$

Zieht man nun die Gleichung für die Hauptnormalspannung heran (vorheriger Abschnitt), so sieht man deutlich, dass sich die Gleichung um den Term $\frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y)$ unterscheidet. Dieser Term fehlt nämlich bei der Gleichung für die Hauptschubspannung. Man kann demnach die Hauptschubspannung auch verkürzt schreiben zu:

Diese verkürzte Gleichung der Hauptschubspannung entspricht der Gleichung der Hauptnormalspannung, reduziert um den Term $\frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y)$.

Es besteht zudem die Möglichkeit die Hauptschubspannung in Abhängigkeit der Hauptnormalspannung auszudrücken:

Die beiden letzten Gleichungen sind die wichtigen Gleichungen zur Bestimmung der Hauptschubspannung.

Zusammenfassung der Gleichungen

Für die Berechnung der Hauptschubspannung kann die folgende Formel verwendet werden:

Alternativ kann man die Hauptschubspannung auch aus den Hauptnormalspannungen bestimmen:

Die dazugehörige Hauptrichtung, der Winkel also um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptschubspannung auftritt, wird bestimmt zu:

Um den Winkel zu bestimmen, muss die Gleichung nach $\alpha^{**}$ aufgelöst werden:

Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, so erfolgt die Drehung entgegen des Uhrzeigersinns (Linksdrehung). Resultiert ein negativer Winkel, wird das Ausgangskoordinatensystem im Uhrzeigersinn (Rechtsdrehung) um diesen Winkel gedreht.

Alternativ kann der Winkel aus der Hauprichtung der Hauptnormalspannung $\alpha^*$ berechnet werden:

Normalspannung bei Hauptschubspannungen

Es stellt sich noch die Frage, welchen Wert die Normalspannungen annehmen, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen. Die Normalspannungen nehmen dann ihren mittleren Wert an. Dieser kann berechnet werden zu:

Zusammenfassend kann gesagt werden: