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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Räumlicher Verzerrungszustand

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Räumlicher Verzerrungszustand

Im Gegensatz zur bisherigen Annahme des ebenen Verzerrungszustandes, muss im räumlichen [allgemeinen] Verzerrungszustand der Verschiebungsvektor $ u $ um eine weitere Komponente in z-Richtung erweitert werden. Im Allgemeinen erhält diese Komponente die Kennzeichnung $ w $. 

Der räumliche Verschiebungsvektor hat dann die Form:

$ u = u(x,y,z)e_x + v(x,y,z)e_y + w(x,y,z)e_z $

Auch die zugehörigen Verzerrungskomponenten in z-Richtung müssen gebildet werden. Dies stellt jedoch keine Schwierigkeit dar, da sich die Bestimmung analog zum ebenen Fall verhält.

Dehnung in alle Richtungen

$\rightarrow \epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} $        [x-Richtung]

$\rightarrow \epsilon_v = \frac{\partial v}{\partial y} $         [y-Richtung]

$\rightarrow \epsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z} $         [z-Richtung]

Gleitungen in alle Richtungen

$\gamma_{xy} =  \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} $ 

$\gamma_{xz} =  \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} $ 

$\gamma_{yz} =  \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} $ 

Symmetrieeigenschaften

$\gamma_{xy} = \gamma_{yx}$

$\gamma_{xz} = \gamma_{zx} $

$ \gamma_{yz} = \gamma_{zy}$.

Matrixschreibweise des räumlichen Verzerrungstensors

$\begin{pmatrix} \epsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \epsilon_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{xz} & \frac{1}{2}\gamma_{yz} & \epsilon_z \end{pmatrix} $

In dieser Matrix sind alle drei Dehnungen und sechs Gleitungen berücksichtigt.