Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Schubmittelpunkt bei dünnwandigen offenen Profilen

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Schubmittelpunkt bei dünnwandigen offenen Profilen

Die im vorherigen Abschnitt durchgeführte Berechnung des Schubflusses für unterschiedliche Bereiche ist nur gültig, solange keine zusätzliche Torsion auftritt. Dann nämlich erfahren dünnwandige offene Profile große Verformungen und Spannungen. Dies kann vermieden werden, indem die äußere Belastung (Querkraftbelastung) so angesetzt wird, dass die Wirkungslinie dieser Querkraft durch den Schubmittelpunkt verläuft. In diesem Abschnitt soll die Bestimmung der Lage des Schubmittelpunktes aufgezeigt werden.

Lage der Schubmittelpunkte für unterschiedliche dünnwandige offene Profile

Schubmittelpunkt dünnwandige offene Proflie
Schubmittelpunkt

Bei doppelt-symmetrischen Profilen fällt der Schubmittelpunkt und der Schwerpunkt zusammen. Bei einfach-symmetrischen Profilen befindet sich der Schubmittelpunkt immer auf der Symmetrieachse. Schubmittelpunkt und Schwerpunkt fallen aber nicht zusammen. Bei Betrachtung der ersten Grafik mit dem ersten Profil sieht man deutlich, dass die $y$-Achse die Symmetrieachse (Profil wird auf der Achse gespiegelt) darstellt. Demnach weiß man, dass der Schubmittelpunkt auf dieser Achse liegen muss. Wo genau dieser Punkt nun aber liegt, das gilt es in diesem Abschnitt zu berechnen. Wichtig ist auf jeden Fall, dass man in etwa die Lage des Schubmittelpunktes abschätzen kann.

Bestimmung des Schubmittelpunktes

Bestimmung des Schubmittelpunktes

Betrachtet wird das obige dünnwandige offene Profil. Im vorherigen Abschnitt wurden bereits für ein solches Profil die Schubflüsse ermittelt, welche für die Bestimmung des Schubmittelpunktes notwendig sind. Die Schubflüsse für die drei Bereiche sind:

$t(s_1) =  \frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_1 $

$t(s_2) =  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (b^2 + bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2) $

$t(s_3) = \frac{Q_z}{I_{yy}}bh (-s_3 + b) $

Die Schubflüsse erzeugen auf einem bestimmten Abschnitt $ds$ ein Moment $M_{T_P}$ bezüglich eines bestimmten Punktes $P$. Beim Schubmittelpunkt selber ist dieses Moment allerdings null. Gesucht wird also der Punkt $SM$ für welchen das Moment $M_{T_{SM}} = 0$ ist. 

Der Punkt $SM$ wird rechts neben das Profil auf der $y$-Achse (da Symmetrieachse) mit dem Abstand $y_{SM}$ zur Profilmittellinie festgelegt (alternativ kann man diesen auch links platzieren). Es werden zunächst die Schubflüsse mit Abstand hin zu diesem Punkt $SM$ über die gesamte Länge des Bereichs integriert.

Bereich 1:

Der Bereich 1 besitzt den Schubfluss $t(s_1)$, dessen Wirkungslinie den Abstand $b$ zum Schubmittelpunkt aufweist (Parallelverschiebung nach unten). Der Drehsinn ist entgegen dem Uhrzeigersinn. Integriert wird über die gesamte Länge $b$:

$M_{{T1}_{SM}} = \int_0^b b \cdot t(s_1) ds_1 = \int_0^b b \cdot \frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_1  \; ds_1 $

$M_{{T1}_{SM}} = [b \cdot \frac{Q_z}{I_{yy}} bh \frac{1}{2}s_1^2]_0^b = [b \cdot \frac{Q_z}{I_{yy}} bh \frac{1}{2}b^2]$

Methode

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$M_{{T1}_{SM}} =   \frac{Q_z}{2I_{yy}} hb^4$

Bereich 2:

Der Bereich 2 besitzt den Schubfluss $t(s_2)$, dessen Wirkungslinie den Abstand $y_{SM}$ zum Schubmittelpunkt aufweist (Parallelverschiebung nach rechts). Der Drehsinn ist entgegen dem Uhrzeigersinn. Integriert wird über die gesamte Länge $2b$:

$M_{{T2}_{SM}} = \int_0^{2b} y_{SM} \cdot t(s_2) ds_2 = \int_0^{2b} y_{SM} \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (b^2 + bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2) \; ds_2$

$M_{{T2}_{SM}} =  [y_{SM} \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (s_2 b^2 + b \frac{1}{2} s_2^2 - \frac{1}{6}s_2^3)]_0^{2b}$

$M_{{T2}_{SM}} =  [y_{SM} \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (2b \cdot b^2 + b \frac{1}{2} (2b)^2 - \frac{1}{6}(2b)^3)]$

$M_{{T2}_{SM}} =  [y_{SM} \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (2b^3 + b \frac{1}{2} (2b)^2 - \frac{1}{6}(2b)^3)]$

$M_{{T2}_{SM}} =  [y_{SM} \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (2b^3 + 2b^3 - \frac{8}{6}b^3] $

Methode

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$M_{{T2}_{SM}} =  \frac{8Q_z}{3I_{yy} } hb^3 y_{SM}$

Bereich 3:

Der Bereich 3 besitzt den Schubfluss $t(s_3)$, dessen Wirkungslinie den Abstand $b$ zum Schubmittelpunkt aufweist (Parallelverschiebung nach oben). Der Drehsinn ist entgegen dem Uhrzeigersinn. Integriert wird über die gesamte Länge $b$:

$M_{{T3}_{SM}} = \int_0^b b \cdot t(s_3) ds_3 = \int_0^b b \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}bh (-s_3 + b)$

$M_{{T3}_{SM}} = \int_0^b b \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}bh (-\frac{1}{2}s_3^2 + s_3b)$

$M_{{T3}_{SM}} = [b \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}bh (-\frac{1}{2}s_3^2 + s_3b)]_0^b$

$M_{{T3}_{SM}} = [b \cdot  \frac{Q_z}{I_{yy}}bh (-\frac{1}{2}b^2 + b \cdot b)]$

Methode

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$M_{{T3}_{SM}} = \frac{Q_z}{2I_{yy}}hb^4$

Zusammenfassung der Bereiche

Wie bereits oben erwähnt, muss das resultierende Moment beim Schubmittelpunkt gleich null sein:

$M_{T_{SM}} = M_{{T1}_{SM}} + M_{{T2}_{SM}} + M_{{T3}_{SM}} = 0$

$M_{T_{SM}} = \frac{Q_z}{2I_{yy}} hb^4  + \frac{8Q_z}{3I_{yy}}hb^3 y_{SM} + \frac{Q_z}{2I_{yy}}hb^4 = 0$

$2\frac{Q_z}{2I_{yy}} hb^4  =  -\frac{8Q_z}{3I_{yy}}hb^3 y_{SM} $

$y_{SM} = -\frac{3}{8} b$

Der Abstand des Schubmittelpunktes $SM$ hin zum Profil ist $y_{SM} = -\frac{3}{8}b$. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass der Schubmittelpunkt nicht wie in der Berechnung angenommen rechts vom Profil auf der $y$-Achse liegt, sondern links:

Bestimmung des Schubmittelpunkts

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Die Maßeinheiten wurden im Vergleich zum vorherigen Kapitel so angepasst, dass die Längen immer nur bis zur Profilmittellinie reichen. Wären die Maßeinheiten wie im Kapitel zuvor, so würde sich bei der Momentenberechnung der Abstand der jeweiligen Schubflüsse zum $SM$ um jeweils $\frac{h}{2}$ reduzieren. Da es sich hier um dünnwandige Profile handelt, würden bei der Zusammenfassung die Glieder mit $h^n$ für $n>1$ wegfallen. Das bedeutet also, dass man bei dünnwandigen Profilen die $\frac{h}{2}$ vernachlässigen kann, auch wenn die Längen bis zu den Enden reichen (siehe vorheriger Abschnitt).