Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen

Es soll in diesem Abschnitt die Schubspannungsverteilung für offene dünnwandige Profile anhand eines Beispiels durchgeführt werden. Dazu wird die im vorherigen Abschnitt gezeigte Formel für den Schubfluss verwendet:

Vorgehensweise

1. Sinnvolle Einzelflächen wählen (Schwerpunktlage der Einzelflächen sollte bekannt sein).

2. Schwerpunktlage in z-Richtung des gesamten Profils berechnen (falls nicht bereits bekannt).

3. Flächenträgheitsmoment bezüglich der Schwereachse (des Profils) bestimmen.

4. Schubfluss für die einzelnen Bereiche bestimmen.

5. Schubspannung ermitteln.

Beispiel: Schubspannungsverteilung in offenen dünnwandigen Profilen

Dünnwandiges offenes Profil

1. Sinnvolle Bereiche wählen: Drei rechteckige Flächen, Schwerpunktlage in der Mitte der Rechtecke.

2. Schwerpunktlage (z-Richtung) des gesamten Systems berechnen: Schwerpunkt ist gegeben und liegt in der Mitte der 2. Fläche bei $b$.

3. Bestimmung des Flächenträgheitsmoments

Zunächst bestimmt man das Flächenträgheitsmoment $I_{yy}$ für das gesamte Profil. Die $y$-Achse läuft durch den Schwerpunkt von Bereich 2. Das bedeutet hier fällt kein Steinerscher Anteil an. Das Flächenträgheitsmoment für ein Rechteck wird bestimmt durch:

$I_{2} = \frac{h (2b)^3}{12}$

Das Flächenträgheitsmoment für Bereich 1 und 3 ist gleich, da die $y$-Achse im gleichen Abstand zu diesen Bereichen steht. Hierbei fällt der Steinersche Anteil an, da die $y$-Achse nicht durch den Schwerpunkt der beiden Bereiche geht.

Für den Bereich 1 ist der Abstand $z_s$ (Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt des betrachteten Körpers):

$z_s = b - \frac{h}{2}$

Der Schwerpunkt für das obige Profil liegt mittig, da es sich um ein Rechteck handelt. Der Abstand $b$ geht bis an den äußeren oberen Rand, da der Schwerpunkt aber mittig liegt muss noch die Hälfte der Dicke $h$ abgezogen werden.

Insgesamt ergibt sich dann für den Bereich 1:

$I^*_{1} = \frac{b h^3}{12} + (b -\frac{h}{2})^2 \cdot bh$

$I^*_1 =  \frac{b h^3}{12} + (b^2 -  bh + \frac{1}{4}h^2) \cdot bh$

$I^*_1 =  \frac{b h^3}{12} + b^3h -  b^2h^2 + \frac{1}{4}b h^3$

Da $h << b$ gilt, folgt:

$I^*_1 =   b^3h$

Für den Bereich 3 analog:

$I^*_3 =   b^3h$

Insgesamt ergibt sich für das obige offene dünnwandige Profil ein Flächenträgheitsmoment von:

$I_{yy} = I^*_1 + I_2 + I^*_3 = b^3h + \frac{h (2b)^3}{12} + b^3h$

4. Schubfluss für die einzelnen Bereiche:

Für den Schubfluss werden nun die drei Koordinaten $s_1$, $s_2$ und $s_3$ betrachtet (siehe Grafik rechts). Die Profilkoordinate $s$ wird immer an den freien Ende angesetzt und läuft auf der Profilmittellinie in Richtung des Profils. 

Schubfluss für Bereich 1

Bereich 1: $0 \le s_1 \le b$

$t(s_1) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} S(s_1) + t_{0_1} $      mit $ S(s_1) = \int_{s_0}^{s_1} zh(s) \; ds $

Der Abstand $z$ ist der senkrechte Abstand von der Profilmittellinie der Profilkoordinate $s_1$ zur Schwereachse des Profils, also zur y-Achse. Der Abstand ist für die gesamte Profilkoordinate $s_1$ konstant bei $z = -b$. Das Minuszeichen resultiert, weil sich die Profilmittellinie auf der negativen z-Achse befindet. Die Dicke $h$ ist ebenfalls überall konstant: 

Damit gilt:

$ S(s_1) = \int_{0}^{s_1} -b \cdot h \; ds  = -b \ cdot h \cdot s_1$

Die Koordinate $s_1$ beginnt am Rand bei $s_1 = 0$.

Für den Schubfluss bedeutet das:

$t(s_1) = \frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_1 + t_{0_1} $

Da bei offenen Profilen am Rand für den Schubfluss gilt $t = 0$, weil die Schubspannung $\tau$ am Rand verschwindet, kann man so $t_{0_1}$ bestimmen. Man setzt zum einen den Schubfluss $t(s_1) = 0$ und ebenfalls $s_1 = 0$, da der Schubfluss am Anfang (bei $s_1 = 0$) gesucht wird:

$s_1 = 0$: $t(s_1) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} -bh \cdot 0 + t_{0_1}  = 0$

$\rightarrow: t_{0_1} = 0$

Insgesamt ergibt sich also:

Schubfluss für Bereich 2

Bereich 2: $0 \le s_2 \le 2b$

$t(s_2) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} S(s_2) + t_{0_2} $      mit $ S(s_2) = \int_{s_0}^{s_2} zh(s) \; ds $

Der Abstand $z$ beginnt bei $-b$, ist aber abhängig davon wo sich $s_2$ befindet, also:

$z = -b + s_2$

Die Wanddicke ist wieder konstant mit $h(s) = h$.

$S(s_2) = \int_{0}^{s_2} (-b + s_2)h \; ds  = (-bs_2 + \frac{1}{2}s_2^2)h $

Für den Schubfluss bedeutet das:

$t(s_2) =  \frac{Q_z}{I_{yy}} (bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2)h + t_{0_2} $

An der Ecke geht der Schubfluss stetig über, d.h. er ist so groß wie der Schubfluss am Ende von Bereich 1, also bei $s_1 = b$. Das bedeutet also, dass $t_{0_2}$ so groß ist, wie der Schubfluss am Ende von Bereich 1:

$t(s_1) =  \frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_1 $              mit $s_1 = b$, da Schubfluss am Ende gesucht

$t(s_1 = b) = t_{0_2} =  \frac{Q_z}{I_{yy}} b^2h $ 

Einsetzen in $t(s_2)$ ergibt:

$t(s_2) = \frac{Q_z}{I_{yy}} (bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2)h +  \frac{Q_z}{I_{yy}} b^2h$

Schubfluss für Bereich 3

Bereich 3: $0 \le s_3 \le 0$

$t(s_3) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} S(s_3) + t_{0_3} $      mit $ S(s_3) = \int_{s_0}^{s_3} zh(s) \; ds $

Der Abstand $z$ ist für den gesamten Bereich konstant mit $z = b$ und die Wanddicke ist ebenfalls konstant mit $h(s_3) = h $.

Damit gilt:

$ S(s_3) = \int_{0}^{s_1} bh \; ds  = bh s_3$

Für den Schubfluss bedeutet das:

$t(s_3) = -\frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_3 + t_{0_3} $

An der Ecke geht der Schubfluss stetig über, d.h. er ist so groß wie der Schubfluss am Ende von Bereich 2, also bei $s_2 = 2b$. Das bedeutet also, dass $t_{0_3}$ so groß ist, wie der Schubfluss am Ende von Bereich 2:

$t(s_2) =  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (b^2 + bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2) $        mit $s_2 = 2b$

$t(s_2 = 2b) =  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (b^2 + 2b^2 - 2b^2) $   

$t(s_2 = 2b) = t_{0_3} =  \frac{Q_z}{I_{yy}}hb^2 $   

Eingesetzt in $t(s_3)$ ergibt:

$t(s_3) = -\frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_3 +  \frac{Q_z}{I_{yy}}hb^2 $

Wenn man nun für $s_3 = b$ eingibt, dann sieht man deutlich, dass der Schubfluss $t(s_3) = 0$ wird. Das entspricht eben gerade der Bedingung des lastfreien Endes (die Schubspannung verschwindet am Rand).