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Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen

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Es soll in diesem Abschnitt die Schubspannungsverteilung für offene dünnwandige Profile anhand eines Beispiels durchgeführt werden. Dazu wird die im vorherigen Abschnitt gezeigte Formel für den Schubfluss verwendet:

Methode

$\ t(s) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} S(s) + t_0 $      mit $ S(s) = \int_{s_0}^{s} zh(s)ds $

Vorgehensweise

1. Sinnvolle Einzelflächen wählen (Schwerpunktlage der Einzelflächen sollte bekannt sein).

2. Schwerpunktlage in z-Richtung des gesamten Profils berechnen (falls nicht bereits bekannt).

3. Flächenträgheitsmoment bezüglich der Schwereachse (des Profils) bestimmen.

4. Schubfluss für die einzelnen Bereiche bestimmen.

5. Schubspannung ermitteln.

Anwendungsbeispiel: Schubspannungsverteilung in offenen dünnwandigen Profilen

Dünnwandiges offenes Profil mit Schubspannung
Dünnwandiges offenes Profil

Beispiel

Gegeben sei das obige offene dünnwandige Profil (Grafik a) mit konstanter Dicke $h = const.$. Außerdem gilt, dass die Seitenlänge $b$ sehr viel größer ist, als die Wanddicke $h$, sodass  $h << b$. 

1. Sinnvolle Bereiche wählen: Drei rechteckige Flächen, Schwerpunktlage in der Mitte der Rechtecke.

2. Schwerpunktlage (z-Richtung) des gesamten Systems berechnen: Schwerpunkt ist gegeben und liegt in der Mitte der 2. Fläche bei b/2.

3. Bestimmung des Flächenträgheitsmoments

Zunächst bestimmt man das Flächenträgheitsmoment $I_{yy}$ für das gesamte Profil. Die $y$-Achse läuft durch den Schwerpunkt von Bereich 2. Das bedeutet hier fällt kein Steinerscher Anteil an. Das Flächenträgheitsmoment für ein Rechteck wird bestimmt durch:

$I_{2} = \frac{h (2b)^3}{12}$

Das Flächenträgheitsmoment für Bereich 1 und 3 ist gleich, da die $y$-Achse im gleichen Abstand zu diesen Bereichen steht. Hierbei fällt der Steinersche Anteil an, da die $y$-Achse nicht durch den Schwerpunkt der beiden Bereiche geht.

Merke

Formel für die Parallelverschiebung des Koordinatensystems hin zum Schwerpunkt eines anderen Bereichs:

$ I_{y^*} = I_{y} + z_s^{*2} \cdot A $

Für den Bereich 1 ist der Abstand $z_s$ (Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt des betrachteten Körpers):

$z_s = b - \frac{h}{2}$

Der Schwerpunkt für das obige Profil liegt mittig, da es sich um ein Rechteck handelt. Der Abstand $b$ geht bis an den äußeren oberen Rand, da der Schwerpunkt aber mittig liegt muss noch die Hälfte der Dicke $h$ abgezogen werden.

Insgesamt ergibt sich dann für den Bereich 1:

$I^*_{1} = \frac{b h^3}{12} + (b -\frac{h}{2})^2 \cdot bh$

$I^*_1 =  \frac{b h^3}{12} + (b^2 -  bh + \frac{1}{4}h^2) \cdot bh$

$I^*_1 =  \frac{b h^3}{12} + b^3h -  b^2h^2 + \frac{1}{4}b h^3$

Da $h << b$ können alle Terme für $h^n$ mit $n > 1$ vernachlässigt werden:

$I^*_1 =   b^3h$

Für den Bereich 3 analog:

$I^*_3 =   b^3h$

Insgesamt ergibt sich für das obige offene dünnwandige Profil ein Flächenträgheitsmoment von:

$I_{yy} = I^*_1 + I_2 + I^*_3 = b^3h + \frac{h (2b)^3}{12} + b^3h$

Methode

$I_{yy} =  \frac{8}{3} b^3h$       Flächenträgheitsmoment

4. Schubfluss für die einzelnen Bereiche:

Für den Schubfluss werden nun die drei Koordinaten $s_1$, $s_2$ und $s_3$ betrachtet (siehe Grafik rechts). Die Profilkoordinate $s$ wird immer an den freien Ende angesetzt und läuft auf der Profilmittellinie in Richtung des Profils. 

Schubfluss für Bereich 1

Bereich 1: $0 \le s_1 \le b$

$t(s_1) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} S(s_1) + t_{0_1} $      mit $ S(s_1) = \int_{s_0}^{s_1} zh(s) \; ds $


Der Abstand $z$ ist der senkrechte Abstand von der Profilmittellinie der Profilkoordinate $s_1$ zur Schwereachse des Profils, also zur y-Achse. Der Abstand ist für die gesamte Profilkoordinate $s_1$ konstant bei $z = -b$. Das Minuszeichen resultiert, weil sich die Profilmittellinie auf der negativen z-Achse befindet. Die Dicke $h$ ist ebenfalls überall konstant: 


Damit gilt:

$ S(s_1) = \int_{0}^{s_1} -b \cdot h \; ds  = -b \ cdot h \cdot s_1$

Die Koordinate $s_1$ beginnt am Rand bei $s_1 = 0$.

Für den Schubfluss bedeutet das:

$t(s_1) = \frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_1 + t_{0_1} $

Da bei offenen Profilen am Rand für den Schubfluss gilt $t = 0$, weil die Schubspannung $\tau$ am Rand verschwindet, kann man so $t_{0_1}$ bestimmen. Man setzt zum einen den Schubfluss $t(s_1) = 0$ und ebenfalls $s_1 = 0$, da der Schubfluss am Anfang (bei $s_1 = 0$) gesucht wird:

$s_1 = 0$: $t(s_1) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} -bh \cdot 0 + t_{0_1}  = 0$

$\rightarrow: t_{0_1} = 0$


Insgesamt ergibt sich also:

Methode

$t(s_1) =  \frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_1 $

Schubfluss für Bereich 2

Bereich 2: $0 \le s_2 \le 2b$

$t(s_2) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} S(s_2) + t_{0_2} $      mit $ S(s_2) = \int_{s_0}^{s_2} zh(s) \; ds $


Der Abstand $z$ beginnt bei $-b$, ist aber abhängig davon wo sich $s_2$ befindet, also:

$z = -b + s_2$

Die Wanddicke ist wieder konstant mit $h(s) = h$.

$S(s_2) = \int_{0}^{s_2} (-b + s_2)h \; ds  = (-bs_2 + \frac{1}{2}s_2^2)h $

Für den Schubfluss bedeutet das:

$t(s_2) =  \frac{Q_z}{I_{yy}} (bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2)h + t_{0_2} $

An der Ecke geht der Schubfluss stetig über, d.h. er ist so groß wie der Schubfluss am Ende von Bereich 1, also bei $s_1 = b$. Das bedeutet also, dass $t_{0_2}$ so groß ist, wie der Schubfluss am Ende von Bereich 1:

$t(s_1) =  \frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_1 $              mit $s_1 = b$, da Schubfluss am Ende gesucht

$t(s_1 = b) = t_{0_2} =  \frac{Q_z}{I_{yy}} b^2h $ 

Einsetzen in $t(s_2)$ ergibt:

$t(s_2) = \frac{Q_z}{I_{yy}} (bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2)h +  \frac{Q_z}{I_{yy}} b^2h$

Methode

$t(s_2) =  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (b^2 + bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2) $

Schubfluss für Bereich 3

Bereich 3: $0 \le s_3 \le 0$

$t(s_3) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} S(s_3) + t_{0_3} $      mit $ S(s_3) = \int_{s_0}^{s_3} zh(s) \; ds $

Der Abstand $z$ ist für den gesamten Bereich konstant mit $z = b$ und die Wanddicke ist ebenfalls konstant mit $h(s_3) = h $.

Damit gilt:

$ S(s_3) = \int_{0}^{s_1} bh \; ds  = bh s_3$

Für den Schubfluss bedeutet das:

$t(s_3) = -\frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_3 + t_{0_3} $

An der Ecke geht der Schubfluss stetig über, d.h. er ist so groß wie der Schubfluss am Ende von Bereich 2, also bei $s_2 = 2b$. Das bedeutet also, dass $t_{0_3}$ so groß ist, wie der Schubfluss am Ende von Bereich 2:

$t(s_2) =  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (b^2 + bs_2 - \frac{1}{2}s_2^2) $        mit $s_2 = 2b$

$t(s_2 = 2b) =  \frac{Q_z}{I_{yy}}h (b^2 + 2b^2 - 2b^2) $   

$t(s_2 = 2b) = t_{0_3} =  \frac{Q_z}{I_{yy}}hb^2 $   

Eingesetzt in $t(s_3)$ ergibt:

$t(s_3) = -\frac{Q_z}{I_{yy}} bhs_3 +  \frac{Q_z}{I_{yy}}hb^2 $

Methode

$t(s_3) = \frac{Q_z}{I_{yy}}bh (-s_3 + b) $

Wenn man nun für $s_3 = b$ eingibt, dann sieht man deutlich, dass der Schubfluss $t(s_3) = 0$ wird. Das entspricht eben gerade der Bedingung des lastfreien Endes (die Schubspannung verschwindet am Rand).

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 2: ElastostatikTechnische Mechanik 2: Elastostatik
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