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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Schubspannungsverteilung in dünnwandigen Profilen

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Schubspannungsverteilung in dünnwandigen Profilen

Es wird angenommen, dass sich die Schubspannung konstant über die Profildicke verteilt. Um diese nun berechnen zu können, wird auf das Konzept des Schubflusses bei dünnwandigen Profilen infolge von Torsion zurückgegriffen. Der Schubfluss $ t $ war bei dünnwandigen Profilen unter Einwirkung von Torsion formal gegeben durch:

$\ t = \tau h $

Der Schubfluss für dünnwandige Profile sieht wie folgt aus:

Schubspannungsverteilung bei dünnwandigen Profilen
Schubspannungsverteilung bei dünnwandigen Profilen

Um nun den Schubfluss für ein dünnwandiges Profil unter Einwirkung von Schubspannungen erfassen zu können, wird die Gleichgewichtsbedingung für ein freigeschnittenes Element verwendet. Aus dieser Gleichung lässt sich der Schubfluss mit einigen Zwischenschritten ermitteln. Die Herleitung soll hier nicht weiter betrachtet werden, sondern gleich die Gleichung des Schubflusses aufgezeigt werden:

Methode

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$t(s) = - \frac{Q_z}{I_{yy}} S(s) + t_0 $      Schubfluss

mit

$ S(s) = \int_{s_0}^{s} zh(s^*)ds^* $

Diese Gleichung gilt sowohl für geschlossene als auch für offene dünnwandige Profile. 

Hierbei ist $z$ der Abstand in $z$-Richtung von der Profilmittellinie der betrachteten Einzelfläche hin zur Schwereachse des gesamten Profils. $h(s)$ ist die Dicke der Einzelfläche. Ist die Dicke konstant, so ist $h$ konstant. $s$ ist die Profilkoordinate, welche entlang der Profilmittellinie verläuft.

Die Schubspannung kann dann ermittelt werden zu:

Methode

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$\tau = \frac{t(s)}{h}$           Schubspannung

Im nächsten Abschnitt folgt ein Beispiel für die Berechnung der Schubspannung bei einem offenen dünnwandigen Profil.