Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen

In diesem Abschnitt soll ausführlich gezeigt werden, dass die Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen gleich sind.

Ortsveränderliche Spannungen

In Bezug auf das Gleichgewicht im ebenen Spannungszustand gilt für Scheiben, dass die Spannungen ortsveränderlich sind. Formal werden die Spannungen zu:

Man geht nun davon aus, dass die Spannungskomponenten an gegenüberliegenden Kanten nicht mehr gleich sind, sondern sich um kleine differentielle Zuwächse ändern. 

Die Zuwächse können mit Hilfe einer differenzierbaren Taylor-Reihe bestimmt werden (nach dem linearen Glied wird diese abgebrochen):

$ f(x_0 + \triangle x \; , \; y_0) = f(x_0 + y_0) +\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\triangle x + .... $

$ f(x_0 \; , \; y_0 + \triangle y) = f(x_0 + y_0) +\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\triangle y + .... $

Gleiches gilt für die Spannungskomponenten:

$\sigma_x (x_0 +dx \; , \; y_0) = \sigma_x (x_0,y_0) + \frac{\partial \sigma_x (x,y)}{\partial x} dx + .... $.

Zugeordnete Schubspannungen

Gegenstand der Betrachtung sei ein kleines Teilchen aus der Scheibe mit einer Kantenlänge $ dx $ und der Kantenlänge $ dy $. Die Dicke $dz$ sei 1. Hierzu gilt es die Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen:

Schubspannungen und Normalspannungen

Es muss in der obigen Grafik beachtet werden, dass die Spannungen auf eine Fläche wirken. Bei der obigen Scheibe mit der Dicke 1, muss man sich die Scheibe dreidimensional vorstellen, wobei die Dicke die $z$-Richtung darstellt. Die Fläche, auf die z.B. die Normalspannung $\sigma_x$ wirkt, ist dann $dy \cdot dz$. Da hier aber von einer Scheibe ausgegangen wird mit der Dicke $dz = 1$, bleibt $dy$ bestehen. Analog dazu ist die Fläche $dx$ für die Normalkraft $\sigma_y$. Genau so verhält es sich auch mit den Schubspannungen. Die Schubspannung $\tau_{xy}$ z.B. wirkt auf die gesamte Fläche $dydz$.

Es wird als nächstes das Momentengleichgewicht aufgestellt. Der Bezugspunkt liegt dabei in der Mitte (schwarzer Punkt in der Grafik). Die Wirkungslinien der Normalspannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ schneiden diesen Bezugspunkt bereits und gehen deshalb nicht in die Berechnung mit ein. Es werden nur die Schubspannungen $\tau_{xy}$ und $\tau_{yx}$ berücksichtigt, welche jeweils einen Hebelarm von $\frac{1}{2}$ mal Fläche besitzen (da der Bezugspunkt in der Mitte liegt). Außerdem muss berücksicjtigt werden, dass die Schubspannung auf eine gesamte Fläche wirkt. Das bedeutet also, dass die Schubspannung $\tau_{xy}$ auf die gesamte Fläche $dy \cdot dz$ wirkt:

$\frac{dx}{2} \cdot  (\tau_{xy} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}dx)dydz - \frac{dy}{2} \cdot (\tau_{yx} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}dy)dxdz + \frac{dx}{2} \cdot \tau_{xy} dydz - \frac{dy}{2} \cdot \tau_{yx} dxdz = 0$

mit $dz = 1$:

$\frac{dx}{2} \cdot  (\tau_{xy} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}dx)dy - \frac{dy}{2} \cdot (\tau_{yx} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}dy)dx + \frac{dx}{2} \cdot \tau_{xy} dy - \frac{dy}{2} \cdot \tau_{yx} dx = 0$

Aufgelöst ergibt dies:

Aus dem Momentengleichgewicht ergibt sich das Gesetz der zugeordneten Schubspannungen. Das bedeutet also, das diejenigen Schubspannungen mit einem vertauschten Indexpaar identisch sind. Die Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen sind demnach gleich. Diese Schubspannungen werden auch als zugeordnete Schubspannungen bezeichnet. Diese zugeordneten Schubspannungen zeigen immer beide auf eine gemeinsame Kante hin oder von einer Kante weg. 

Spannungskomponenten in der Ebene