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Werkstofftechnik 1

Hookesches Gesetz

Mittels Zugversuchen wird der Zusammenhang zwischen Dehnung $\epsilon$ und Spannung $\sigma$ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt (siehe vorheriger Abschnitt). Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, d.h. dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. 

Beispiel

Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung ($\triangle l$) zunimmt. 

Gummiband gedehnt
Gummiband gedehnt

 

 Das Hookesche Gesetz beschreibt den Zusammenhang von Spannung und Dehnung im linear-elastischen Bereich.

Methode

$\sigma = E \cdot \epsilon$                         Hookesche Gesetz 

Hierbei gibt der Elastizitätsmodul $E$ nichts anderes als die Steigung der Hookeschen Geraden wieder. Aber dennoch ist er eine notwendige Materialgröße zur Beschreibung des elastischen Verhaltens eines Materials. Dabei ist nicht relevant ob im Zugbereich oder Druckbereich gemessen wird, da der Wert des E-Modul dort identisch ist. Die Einheit des E-Moduls ist Kraft pro Fläche [N/mm²].

Hooksche Gerade
Hookesche Gerade

In der nachfolgenden Tabelle sind einige Materialien mit ihrem zugehörigen E-Modulen aufgelistet:

Materialbezeichnung E-Modul in kN/mm²
Ferritischer Stahl 210
Kupfer 130
Blei 19
Glas 70
Beton 22-45

$\\$

Merke

Den Elastizitätsmodul kann man aus den Messergebnissen des Zugversuches berechnen.


Zur Berechnung des Elastizitätsmoduls kann man das Hookesche Gesetz auch umschreiben, indem man die Größen

$\sigma = \frac{F}{A_0}$

$\epsilon = \frac{\triangle l}{l_0}$

einsetzt in

$\sigma = E \cdot \epsilon$.

Daraus ergibt sich:

Methode

$E = \frac{F \cdot l_0}{A_0 \cdot \triangle l} $

mit

$A_0$ = Probenquerschnitt

$F$ = Kraft

$l_0$ = Länge des Probenstabs

$\triangle l$ = Verlängerung des Probenstabs

Beispiel: Berechnung Elastizitätsmodul

Beispiel

Das Elastizitätsmodul $E$ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $d = 10 mm$ und einer Anfangsmesslänge $l_0  = 50 mm$ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $F = 10 kN$. Diese Kraft $F$ führt dazu, dass der Stab sich um $\triangle = 0,5 mm$ verlängert.

1) Wie groß ist die Zugspannung $\sigma$ ?

2) Wie groß ist die elastische Dehnung $\epsilon$ ?

3) Welchen Wert besitzt der Elastizitätsmodul $E$ ?

1) Berechnung der Zugspannung 

$\sigma = \frac{F}{A_0}$

Die Querschnittsfläche $A_0$ bei einem Rundstab ist kreisförmig und wird berechnet durch:

$A_0 = r^2 \cdot \pi = (\frac{d}{2})^2 \cdot \pi = (5 \; mm)^2 \cdot \pi = 78,54 \; mm^2$

Die Kraft $F$ ist in $kN$ angegeben und wird umgerechnet in $N$:

$F = 10 kN = 10.000 \; N$

Die Berechnung der Zugspannung erfolgt dann mit:

$\sigma = \frac{F}{A_0} = \frac{10.000 \; N}{78,54 \; mm^2} = 127,32 \; N/mm^2$

2) Berechnung der Dehnung

$\epsilon = \frac{\triangle l}{l_0} = \frac{0,5 \;  mm}{50 \; mm} = 0,01 = 1$ %.

3) Berechnung des Elastizitätsmoduls

$E = \frac{F \cdot l_0}{A_0 \cdot \triangle l}$

$E = \frac{10.000 \; N \; \cdot 50 \; mm}{78,54 \; mm^2 \cdot 0,5 \; mm} = 12.732,37 \; N/mm^2$