Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab

Beispiel

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Konischer Stab

Gegeben sei der obige konische Stab mit kreisförmigem Querschnitt, welcher durch die zwei Druckkräfte $F$ in der Stabachse belastet wird.

Bestimme die Normalspannung $\sigma$ bei beliebigem Querschnitt senkrecht zur Stabachse!

Da ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als

$\sigma_0 = \frac{N}{A}$

Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung $\sigma_0$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu wird ein Schnitt an einer beliebigen Stelle durchgeführt und der Abstand mit $x$ bezeichnet:

$\sigma_0 = \frac{N(x)}{A(x)}$

Um die Querschnittsfläche $A(x)$ (kreisförmig) zu berechnen, benötigt man den Radius, denn die Fläche eines Kreises wird berechnet durch $\pi \cdot r^2$. 

Berechnung des Radius

Bestimmung des Radius am konischen Stab

In der obigen Grafik ist der Radius $r(x)$ veranschaulicht. Die grauen Pfeile deuten an, dass der Radius an jeder Stelle unterschiedlich groß ist. Es soll jetzt $r(x)$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo der Schnitt durchgeführt wird. Dazu wird die Gerade (orange Linie) berechnet:

Bestimmung des Radius am konischen Stab

Dies geschieht indem man sich diese orange Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird:

Geradengleichung

Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet:

$r(x = 0) = r_0$

$r(x = l) = 3r_0$

Es ist schon mal ersichtlich, dass die Gerade bei $r(0) = r_0$ beginnt. Das bedeutet $b = r_0$. Als nächstes ist die Steigung $a$ relevant. Diese berechnet sich, indem man den Ausgangspunkt der Geraden (also $r_0$) vom Endpunkt abzieht $3 r_0 - r_0 = 2r_0$. Das bedeutet, bei einem Schritt von $l$ in Richtung der positiven $x$-Achse und einem Schritt von $2r_0$ nach oben in Richtung der positiven $y$-Achse, erhält man die Gerade. Die Steigung ist demnach $a = \frac{2r_0}{l}$. Die Geradengleichung ist also:

$r(x) = \frac{2r_0}{l} x + r_0$

Wenn man sich nun beispielsweise in der Mitte des Stabes befindet bei $\frac{l}{2}$, dann ist der Radius:

$r(l/2) = \frac{2r_0}{l} \frac{l}{2} + r_0 = 2 r_0$

Berechnung der Fläche

Nachdem nun der Radius $r(x)$ ermittelt worden ist, wird als nächstes die Fläche berechnet. Die Querschnittsfläche stellt einen Kreis dar. Die Fläche eines Kreises wird berechnet durch:

$A(x) = r^2 \cdot \pi$.

$\rightarrow \; A(x) = (\frac{2r_0}{l} x + r_0)^2 \cdot \pi$.

Würde man nun den Schnitt in der Mitte des Stabes bei $\frac{l}{2}$ durchführen, dann wäre die Fläche 

$A(l/2) = (2r_0)^2 \cdot \pi = 4r_0^2 \cdot \pi$.

Berechnung der Normalspannung

Als nächstes muss die Normalkraft bestimmt werden. Diese ist immer senkrecht zur Querschnittsfläche:

Bestimmung der Normalkraft

Mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung folgt:

$\rightarrow : F + N = 0 \rightarrow N = -F$

Die Normalspannung wird berechnet mit:

$\sigma_0 = \frac{N}{A} = \frac{-F}{A}$

Einsetzen von $A(x)$:

$\sigma_0 = \frac{-F}{(\frac{2r_0}{l} x + r_0)^2 \cdot \pi}$.

Das Minuszeichen bedeutet, dass es sich hierbei um eine Druckkraft handelt. Das $N$ ist gleich $-F$, muss also in die andere Richtung zeigen (hin zur negativen $x$-Achse).