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Technische Mechanik 1: Statik - Schnittgrößen am Bogen

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Technische Mechanik 1: Statik

Schnittgrößen am Bogen

In diesem AbSchnitt soll die Bestimmung der Schnittgrößen an einem Bogen gezeigt werden. Dazu wird folgende Grafik betrachtet:

Schnittgrößen am Bogen
Schnittgrößen am Bogen: Beispiel

In der obigen Grafik ist ein Bogen gegeben mit dem Radius $r$ und der Kraft $2F$, die auf den Bogen wirkt.

Zunächst werden die Lagerreaktionen am noch ungeschnittenen Bogen aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet:

Schnittgrößen am Bogen
Lagerreaktionen

$ \rightarrow : A_h + 2F = 0 \rightarrow A_h = -2F$

$ \stackrel{\curvearrowleft}{A}: B \cdot 2r - 2F \cdot \frac{2}{3} r = 0 \rightarrow B = \frac{2}{3}F$

$ \uparrow : A_v + B = 0 \rightarrow A_v = -\frac{2}{3}F$

Beispiel

Im Folgenden soll der 1. Schnitt bei $\alpha = 35° $ und der 2. Schnitt bei $\alpha = 50°$ gesetzt werden. Der Radius soll $r = 4m$ betragen.

Der erste Schnitt wird vor der einwirkenden Kraft gesetzt und der zweite Schnitt nach der einwirkenden Kraft. 

Schnitt 1

Der erste Schnitt wird im Bereich $0 < \alpha < 40°$ gesetzt. In diesem Beispiel wird der Schnitt willkürlich bei $\alpha = 35°$ gesetzt. Zunächst folgt die Bestimmung der Querkraft und der Normalkraft. Diese sind nun nicht mehr vertikal und horizontal, sondern besitzen einen Winkel.

Querkraft und Normalkraft am Bogen
Querkraft und Normalkraft am Bogen

Die Normalkraft wirkt immer in Richtung der positiven $x$-Achse am positiven Schnittufer. Die Querkraft wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:

Schnittgrößen am Bogen: Koordinatensystem
Schnittgrößen am Bogen: Koordinatensystem

Der Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen sehen wie folgt aus:

Pfeil nach rechts oben ($x$-Achse): $N + A_v \cdot \cos (35°) + A_h \cdot \cos (305°) = 0$

$N = -\frac{2}{3}F \cos (35°)  - 2F \cdot \cos (305°) $

$N = -0,546 F - 1,147 F = -1,693 F$

Die Berechnung erfolgte zur positiven $x$-Achse. Zum Beispiel muss die Lagerkraft $A_h$ um 305° gedreht werden, um zur positiven $x$-Achse zur gelangen. Die Querkraft geht nicht mit ein, da diese null werden würde (Winkel: $\cos (270°)$ ).


Pfeil nach links oben ($y$-Achse): $-Q + A_v \cdot \sin (35°) + A_h \sin (305°) = 0$

$Q = -\frac{2}{3}F \cdot \sin (35°) - 2F \cdot \sin (305°)$

$Q = -0,382 F + 1,638 F = 1,256 F$

Als nächstes wird das Biegemoment bestimmt. Hierzu müssen noch die Abstände von $A_h$ und $A_v$ zum Schnittpunkt berechnet werden.

Bestimmung des Biegemoments am Bogen
Bestimmung des Biegemoments am Bogen

In der obigen Grafik ist dargestellt, wie man die Abstände von $A_h$ und $A_v$ zum Schnittpunkt berechnen kann. Wenn man vom Schnittpunkt nach unten geht (gestrichelte rote Linie), dann trifft man die horizontale Linie, welche die Länge $r$ hat (das ist der Radius vom Mittelpunkt des Halbkreises zum Bogen hin). Dort wo man die horizontale Linie trifft (Schnittpunkt $S_r$), bis hin zum Mittelpunkt, ist die Länge $r \cos (35°)$ (rote Linie). Für $A_v$ ist der Abstand vom Halbkreisbogen (links) bis zu diesem Schnittpunkt $S_r$ relevant. Dieser ist demnach $r - r \cos (35°)$ (also die horizontale Linie abzüglich der roten Linie ergibt den Abstand für $A_v$). Der Abstand von $A_h$ zum Schnittpunkt ist $r \sin (35°)$.

Merke

Erinnerung: Um den Abstand für Momente zu berechnen, verschiebt man die Kraft solange parallel zu sich selbst, bis die Wirkungslinie der Kraft den Bezugspunkt (hier: Schnitt) schneidet.

Das Biegemoment berechnet sich durch das Momentengleichgewicht am Schnittpunkt:

$\stackrel{\curvearrowleft}{S} : M - A_v \cdot (r - r \cos (35°) + A_h \cdot r \sin (35°) = 0$      |$r = 4m$

$M = A_v (4 - 4 \cos (35°)) - A_h \cdot 4 \sin (35°) = -\frac{2}{3} F \cdot 0,723 + 2F \cdot 2,294$

$M = 5,07F$

Da der Winkel $\alpha$ beliebig einsetzbar ist im Bereich $0 < \alpha < 40°$, ist der Verlauf für die Schnittgrößen in diesem Bereich durch Einsetzen der Winkel zu ermitteln. Das bedeutet, um zum Beispiel das Biegemoment für den Winkel 30° zu berechnen, bedient man sich der obigen Gleichung:

$M = A_v (4 - 4 \cos (30°)) - A_h \cdot 4 \sin (30°) $

$M =  -\frac{2}{3} F \cdot 0,536 + 2F \cdot 2 = 3,643 F$

Analog verfährt man auch mit der Querkraft und der Normalkraft.

2. Schnitt

Es fehlt nun noch der zweite Bereich des Bogens mit $40° < \alpha < 180°$. Der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass der Schnitt bei $\alpha = 50°$ gesetzt werden soll (es ist egal, wo in dem vorgegebenen Bereich der Schnitt gesetzt wird, hier wird willkürlich der Winkel 50° gewählt).

Querkraft und Normalkraft am Bogen
Querkraft und Normalkraft am Bogen

Wie der Grafik zu entnehmen ist, müssen wir nun das rechte Schnittufer betrachten. Hier ist die Querkraft in Richtung der positiven $y$-Achse gerichtet und die Normalkraft in Richtung der negativen $x$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen werden wieder mithilfe der gestrichelten Hilfslinien und des Koordinatensystems aufgestellt:

SChnittgrößen am Bogen Koordinatensystem
Koordinatensystem

Pfeil rechts oben (x-Achse) : $-N + B \cdot \cos (50°) = 0 \rightarrow N = \frac{2}{3} F \cos (50°) = 0,429 F$

Pfeil links oben (y-Achse) : $Q + B \sin (50°) = 0 \rightarrow Q = - \frac{2}{3} F \sin (50°) = -0,511 F$

Als nächstes folgt die Berechnung des Biegemoments. Hierzu muss wieder der Abstand von $B$ zum Bezugspunkt (hier: Schnitt) ermittelt werden. 

Biegemoment am Bogen
Biegemoment am Bogen

$B$ muss einen Abstand von $r + r \cos (50°)$ zurücklegen, damit seine Wirkungslinie den Bezugspunkt (hier: Schnitt) schneidet.

$\stackrel{\curvearrowleft}{S} : -M + B \cdot (r + r \cos (50°)) = 0$

$M = \frac{2}{3} F \cdot (4 + 4 \cos (50°)) = 4,381 F$